266 HISTOIRE

une fonction de x et de constantes, ou même sans constantes;la seconde , une fonction de deux variables , x et y , avecou sans constantes ; et si dans le progrès du calcul il doit êtreindiqué quelqu’autre fonction des mêmes variables , on la dé-signeroit par F ' ( xy ) , ou f ( x , y ) , ou ? ( x , y ) , ad libitum,en conservant dans le progrès du calcul la même dénomina-tion à la même fonction , &c. et dans la différentiation , onla désigneroit , par exemple , la différentielle de Z par dz }celle de F(x,y) par d.F (x, y). Ces notations sont plusimportantes qu’il ne paroît d’abord ; car souvent la forme memede la notation est un fil secourable pour la résolution.

Il faut ajouter ici , pour donner les principaux élémens decette théorie , qu’on distingue les fonctions par leurs dimen-sions , et que ces dimensions se mesurent par le degré de com-position du terme où la variable , ou bien le produit des va-riables , est le plus élevé. Ainsi la fonction ax-\~xx est dusecond degré , de même que celle ci : ax -+- xy , parce quele plus haut degré de la variable ou du produit des deux va-riables est du second degré ; ax-t-by n’est que du premierdegré , ou d’une dimension , parce qu’aucune de ses variablesn’excède le premier degré ; y ( ax ■+■ by) n’est que de la di-mension y, ax “+ by est de la dimension zéro, parce que le degré

de celle du dénominateur est le même que celui du numéra-teur , et qu’ici comme dans l’expression des puissances, lesexposans de ces dimensions doivent se soustraire l’un de l’autre;

aussi et d’après ces principes , ~ x ^. ~ est de la dimension —2.

Il est encore à propos de remarquer que les fonctions sedivisent en homogènes et hétérogènes; les premières sont cellesoù tous les termes sont élevés au même degré, comme celles-ci : xx -\-yy , xx -4- xy , &c. Mais aaxy n’est pas un ho-mogène , parce que le degré de composition de ax n’est pas lemême que celui de xy ; les quantités constantes ne comptentpoint dans cette composition.

On appelle fonctions semblables , celles qui sont forméesde variables et de constantes proportionnelles entr’elles , etcombinées d’une manière semblable. Ainsi, en supposant a à bcomme x à y , les fonctions J/ ( aa — xx ) , y (bb — j\y )seront des fonctions semblables.

Ces préliminaires posés , on démontre quelques propriétés deces fonctions , savoir :

i°. Que les fonctions semblables sont entr’elles comme leursvariables , élevées au degré de la fonction. Ainsi, par exemple,fioyent les deux fonctions semblables, et du quatrième degré,