278 HISTOIRE

Les théorèmes fondamentaux que nous avons exposés ci*dessus ont été pour M. Euler la source d’une multitude d’autrestrè ,-intéressans et si utiles, qu’on peut dire qu’ils sont aujour-d’hui comme élémentaires dans toutes les recherches où entrentdes calculs d’angles ; la trigonométrie sphérique en a même ,pour ainsi dire , reçu une forme nouvelle et une grande ex-tension ; mais le développement de ces divers théorèmes seroitpeut-être trop aride ici : c’est pourquoi nous nous borneronsà les présenter dans une note qu’on trouvera à la suite de celivre.

La résolution des problèmes de l’astronomie physique pré-sente souvent des puissances de sinus ou de co-sinus. 11 a fallu,pour se conformer à la forme des tables astronomiques , lesréduire en sinus et co sinus d’arcs simples , ou doubles , &c.Qu’on ait , par exemple , la quantité cherchée exprimée parA sin.j^-t- Bsin.j/ 3 (où l’on doit remarquer que sin. y m nesignifie pas le sinus de y m , mais la puissance m. du sinus de y ;A et B sont des arcs ou des angles donnés, exprimés en minuteset secondes ) , il falloit la réduire à de simples sinus et co-sinus, pour la trouver dans les tables ; on le fera par le moyendes théorèmes suivans , que l’on doit aussi à M. Euler :

Sin. y % = —

cos, iy

Sin. y J =Sin. y* —Sin. y' —Sin. y 6 —

3 sin. / — sin.

4

) — 4 COS. IV -+• COS.

g .

10 Sin. y .— !■; sin. Sy ■+- sin.

— .

10 — 1; cos. 2 y 6 cos. 4 y — cos. Sy

— ' '

d’où l’on peut facilement tirer l’expression générale de sin. y”,que nous omettons néanmoins ici pour abréger ; ainsi l’onauroit la quantité proposée ci-dessus, A sin. y*-¥■ B sin. y 1

— ê _ L52LJZ _ ÊJiiEE. Or ayant l’angle y , on

trouveroit dans les tables les sin. y , cos. 2 y, sin. 3 y, en déci-males ; et faisant les calculs indiqués par la formule , on auroitla valeur totale de l’expression ci-dessus.

On a de même :

Cos. y = E±. c 2 0< -Cos. y> = c -°-- y + cos - v .

Cos -v4 - } + 4 cos. ly 4- cos- tr

yj ~~ 8 *

&c.