3oo HISTOIRE

effet que clhucune de ces équations étant égale à o , cettemultiplfcatiom les laisse chacune égale à o , et que leur sommeest encore égale à o , en sorte que si ces polynômes sont tel-lement combinés, que le coefficient de chaque inconnue n’excèdepas le premier degré , tous pourront être égalés à o , sans avoirà traiter d’équations plus hautes que le premier degré , et l’onaura la solution désirée.

Mais quelle est la forme de ce polynôme pour chacune deséquations cherchées, pour qu’il n’introduise point de nouveauxtermes ou de nouvelles combinaisons d’inconnues dans l’équa-ticn fira'e, et pour que chacun des coélliciens égalé à o nejette pas dans de nouveaux embarras ? c’est là en quoi gissoitla difficulté , et M. Besout ne la résoud que par des consi-dérations très-abstraites et très-générales sur la formation despolynômes à plusieurs inconnues, sur leur forme coinplette ouincomplette , et leur effet dans ces différens états sur les termesdes équations dont ils doivent être les multiplicateurs , équa-tions qui peuvent elles-mêmes être complettes ou incomplettes ;car ces cas dillérens exigent aussi des artifices de ca'cids dif-férens ; ces considérations le conduisent même à une nouvellenotation et, pour ainsi dire , à un nouvel algorithme néces-saire en effet pour traiter cette matière avec la généralité con-venable et éviter une prolixité de calculs vraiment effrayante.

C’est au moyen de ces considérations que M. Besout dé-montre d’abord que si l’on a un nombre d’équations m avecautant d'inconnues à éliminer , hors une , et que ces équationssoyent du degré t , l’équation ne doit pas monter plus hautque le degré mt. Mais ce degré peut être moindre , i°. selonquelques circonstances accidentelles des coélliciens des équa-tions données , lesquelles peuvent anéantir des coéfficiens dequelques degrés supérieurs ; i°. selon le degré et l’espèce d’in-complétions des équations données ; mais , je le répète , toutcela exige des détails d’une analyse si profonde et si abstraite,qu’ils ne sauroient entrer dans cet ouvrage. Ce n’est pas quel’application de cette méthode ne présente encore, et des diffi-cultés assez grandes , et des calculs fort laborieux pour levulgaire des analystes ; mais indépendamment de ce qu’ils lesont bien moins que ceux où entraîne l’élimination successive,le géomètre et l’analyste ne plaignent point leur peine quandils ont l’assurance d’arriver à leur but-

XXIX.

En parlant des travaux de M. Stirling, nous avons renvoyéà un article particulier le compte à rendre de cette partie de