DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Lit. I. 329propres à donner une idée du problème, et ils sont des plusfaciles parmi ceux qu’on peut proposer. En effet, on trouve,même sans un appareil fort savant de calcul, que dans lepremier cas, les courbes cherchées ( car il en est une infinitésuivant la distance du point C au sommet des paraboles) sontdes ellipses ayant leur centre au sommet commun des para-boles , et où l’axe transverse est au conjugué comme i à V2 (1)-

Dans le second Cas , on voit aussi bientôt , quand on estrin peu géomètre , que la courbe qui coupe tontes les para-boles égales de la fig. 65 , n’est autre qu’une logarithmiqueayant pour sa soutangente , qu’on sait être constante , uneligne égale à la sous-normale de la parabole mobile, qu’onsait aussi être invariable.

Le Commercium epistolicum entre Leibnitz et Bernoullifournit les premiers traits de ce problème, car ils agitoiententr’eux en 1694 un problème fort curieux qui consistoit à trouverla courbe qui toucheroit une suite d’autres décrites selon unecertaine loi , comme toutes les paraboles que décriroit un pro-jectile lancé par une même force sous tous les différens anglesde projection depuis zéro jusqu’à 90 ; tous les cercles décrits desdiüérens points d’un axe, comme centres, avec des rayons crois-sans ou décroîssans selon une certaine loi, &c.

Ce problème une fois expédié entr’enx Bernoulli dit à Leib-nitz qu’un autre, non moins curieux , seroit de trouver la courbequi cou|)eroit à angles droits une suite de courbes de la mêmefiature décrites selon une certaine loi. Cela serviroit, di-il , à.déterminer la courbe que décrit un rayon de lumière dans unun milieu inégalement dense. Car cette courbe 11’est que cellequi coupe à angles droits les ondulations dans lesquelles Iluy-gens fait consister la propagation de la lumière. Le problème nepouvoit pas manquer d’intérêt auprès de Leibnitz, et dans sa

(1) Soit en effet p le paramètre d’unedes paraboles, AD l’abscisse de ia courbecherchée et de la parabole , ainsi queDF. Leur ordonnée commune , la soutan-gente DF de la courbe cherchée sera

— ~7T’ c l u ‘ ^°‘ t ^ tre ®S a ^ e a b sous*

normale de la parabole AE ou —4^5on aura donc —Or l’équa-

tion px—yy donne valeur

qui substituée dans l’équation différen-tielle tri-dessus, donne — z xdx —ydy,

Tome 111 .

dont l’irrtégrale est — x' — y -f- une

constante quelconque aa. Ainsi on auracette équation en termes finis.

aa — xx y, ou y — y'2 aa — xx.

Or comme p ne paroît point ici, il suitque quelque soit p et quelleque soit laparabole , elle sera rencontrée perpen-diculairement par l’ellipse partant d’unpoint C distant de D de la quantitéarbitraire a , et ayant son demi-axe con-jugué AE aV 2.

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