33o HISTOIRE

réponse îl envoya à Bernoulli une méthode pour le résoudre vet il resoud en effet le cas qu’on a vû ci-dessus des parabolesde même sommet à paramètres variables. Cette méthode n’estpas à la vérité suffisante pour tous les cas du problème ; maisquelques années après il en donna une plus complète et qui loconduisit à cette différentiation particulière qu’il appella dacurva in curvatn , parce que la quantité qui est constante dansune même courbe (comme le paramètre de chacune des para-boles ci-dessus) devient variable et susceptible de différentiationdans une suite de courbes.

Cette différentiation , appellée de curva in curvam, est uneclef si nécessaire pour tous les problèmes de ce genre , que nouacroyons ne pouvoir nous dispenser d’en donner ici une idée.

Soit la courbe PM {fig. 66 ) dont l’abscisse PQ = x , le pa-ramètre a et l’ordonnée QM = A ( A est une fonction quel-conque de x et de ce paramètre ) , l’aire PQM sera , comme"on sait, S.A dx. Mais si nous supposons ce paramètre a varierd’une quantité infiniment petite , comme da , il en résulteraune courbe de même nature infiniment voisine PN. 11 s’agitde trouver ce que deviendra l’aire de la courbe au moyen decette double variation de x et de a.

Or il est évident que cet accroissement sera composé del’accroissement Q//z , qui est adx , et de l’espace P mn , qui"n’est autre chose que l’intégrale du petit quadrilatère MN nm ^qui est égal au petit rectangle MroN , et celui-ci est lui-mêmeégal au rectangle de dx par MN , qui est la différentielle deA, 6n y fciiScLnt S6ul6ni6nt varier ^ t puiscjuc oc reste ici cous -tante. Or Ja différentielle de A, en y faisant varier seulement

a , est d ~ dadx ( où ~ exprime le eoéfficient de da après la

différentiation ). Ainsi le rectangle MmnN sera ^ dadx , dont

l’intégrale est S . — dadx ; et comme da est ici une quantité-

constante , on peut faire passer da hors du signe d’intégration,

et l’on aura pour l’expression de PMN ou Ymn , da S.^dx.

L’aire PQM devenue ~PqnŸ , aura donc pour accroissement

Adx -+- da S lp- dx , dont l’intégrale est S.AcZ-r-t- S.daS^ dx.

Delà résulte cette règle générale pour une expression quel-conque Ax , à laquelle se réduit toujours, ou une aire , ouun arc de courbe , &c. Différentiez d’abord selon x , et vousaurez une partie de la différentielle Adx. Différentiez ensuite

la fonction Ax selon a , et que cette différentiation soit ^da.»