DES MATHEMATIQUES. P^r. V. Liv. T. 3 |3les différentielles auxquelles on a donné le nom de partielle 1 ’.Cette dénomination est suffisamment expliquée par là.

Remarquons d’abord ici qu’on a coutume de désigner ces

cocfliciens de dx , dy , et de cette manière ce qui

signifie ce que devient la fonction z , en faisant d’abord varier x,et divisant par dx, et ce qu’elle devient en faisant varier^/ , etdivisant par dy , ensorte que la valeur complète de dz est repré-sentée par dx ^ dy , et c’est sous cette forme que se pré-sentent d’ordinaire les équations aux différentielles partielles.Ainsi toute équation entre z, x, y , et si l’on veut

une ou plusieurs quantités constantes, sera une équation auxdifférentielles partielles ; telle est, par exemple, celle-ci :

H- b —xy •=. o; ce qui signifie qu’il faut pour la solution du

problème qui conduit à cette équation , trouver une fonctionde x et y, telle que le coefficient de la différentielle dx , multi-plié par a , plus celui de dy multiplié par b , soient = xy.Cette équation est une des plus simples de ce genre. On appelleéquation aux différentielles partielles du premier ordre , celleoù la fonction s n’a été diffèrentiée qu’une seule fois j car il

y en a du second et du troisième ordre, comme - 4 - P = 0 ,

j^ + ^|+P:= o , &c. et même plus élevées ; mais on seroit

heureux d’avoir la résolution complète de celles de ces deuxordres.

C’est Fontaine , à ce que je crois, qui le premier a imaginécette notation, en recherchant quelle qualité doit avoir unedifférentielle à deux variables x et y , pour être absolumentintégrable ; car nommant A dans la différentielle donnée lapartie qui affecte dx t et B celle qui affecte dx , il faut que l’on

ait^ = ^*, ce qui signifie que la nouvelle différentielle de

A en y faisant varier x et divisant par dx , égale la diffé-rentielle de B en y faisant varier y , et divisant par dy. Maison s’étoit borné là jusqu’à ce que d’Alembert , d’abord dansses recherches sur les cordes vibrantes , et ensuite dans cellessur la cause générale des vents , enfin dans sa théorie de larésistance des fluides , a été conduit à des équations du genreci-dessus qu’il a trouvé le moyen de résoudre par des artificesqui font un honneur infini à sa sagacité. Il a été par-là lepremier inventeur d’un calcul entièrement nouveau , et d’une