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telle utilité clans les recherches physico - mathématiques ,qu’on est généralement convenu que jusqu’à lui , on n’avoitentrevu qu’une petite partie de l’étendue des solutions dontsouvent ils sont susceptibles (1).
Pour donner une idée , telle du moins que le comporte cetouvrage , de la nature et de la résolution des équations auxdifférentielles partielles , nous commencerons par la plus simple
de ces équations ; c’est celle - ci : ^ = P , on entend par P ,
une fonction quelconque de x et y et de constantes. Il s’agitdonc de trouver une fonction z de x et y , qui différentiéeselon y et divisée par dy , soit égale à la fonction donnée P.
Pour y parvenir, qu’on multiplie tout par dy , on aura j y dy
= P d\ , d’où il suit que P dy n’est qu’une partie de la diffé-rentielle de z , savoir celle qui se trouve en n’y faisant varier
( I ) Fontaine est bien le premierqui ait proposé la notation adoptéepour exprimer les différentielles par-tielles ( voyt{ la table de ses (Euvres ) ;mais c’est dans un mémoire de Ni-colas Bernoulli , sur les trajectoiresorthogonales , qu’on trouve pour lapremière fois la recherche des relationsqui ont lieu entre les différentiellespartielles d’une fonction de deux va-riables ( voyc{ les Acta erudilorum ,ann. 1720, ou les (Euvres de Jean Ber-noulli , tom. II, p. 443 ). Quoique lethéorème de Nicolas Bernoulli ne soitpas présenté sous la forme de celui quele cit. Montucla attribue à Fontaine, ille contient implicitement. On doit en-core obsèrver que Clairaut a dit avoirtrouvé de son côté ce théorème , dontil a fait usage dans deux mémoires surle calcul intégral, imprimés parmi ceuxde l’Académie, pour les années 1739et 1740. Ces mémoires sont supérieurspar leur élégance et par leur clarté ,à ce qu’a fait Fontaine. Le second estsurtout intéressant, par ce qu’on y trouve
l’équation rr déduite de la consi-dération des surfaces courbes ; mais ilne faut pas oublier que l’on doit àFontaine la manière d’envisager leséquations différentielles comme le ré-sultat de l'élimination' des constantes
arbitraires entre une équation primitiveet ses différentielles immédiates. Cetteremarque contient le germe de la théoriede toutes les espèces d’équations diffé-rentielles, ou aux différences , et sert debase à l’élégante théorie des solutions( ou intégrales ) particulières , donnéeen 1774 , par Lagrange , dans les Mé-moires de l’academie de Berlin.
Il importe de noter dans l’histoire desmathématiques la priorité qu’Euler asur d’AIembert dans l’invention du calculintégral aux différentielles partielles. Lecit. Cousin a rappelé , dans la préfacede :on Astronomie physique, qu’Euleravoit,dès 1734, intégré complettementune équation de ce genre ( Mém. dePétersb. tom. VIT ) , mais qu’il oubliason nouveau calcul , jusqu’à ce qued’AIembert en eut fait les premières ap-plications aux sciences physico-mathé-matiques. La gloire do ces applicationsdoit demeurer toute entière à d’AIem-bert, mais l’invention du calcul appar-tient incontestablement à Euler , qui eueencore l’avantage d’en présenter les ré-sultats sous une forme beaucoup plussimple que celle qu’employoit d’Alem-berr ; aussi les géomètres l’ont-ils tousadoptée.
Lacroix.
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