35 o HISTOIRE

ou certaine variable du problème est zéro , ou a pris cette

grandeur.

Ainsi la détermination de ces fonctions arbitraires , d’aprèsles conditions données, a du nécessairement occuper les géo-mètres, et ils ont trouvé qu’en général cette détermination ra-menoit à l’intégration d’une équation aux différences iinics.

Les Mémoires de l'Académie des Sciences de 1770, 1771et 1772, , contiennent divers mémoires de Condorcet sur cesujet, et en particulier celui de 1772 a pour objet direct la déter-mination des fonctions arbitraires qu’il ramène clans bien des casà l’intégration d’une équation aux différences finies, résultat au-quel ont été conduits par différentes voies les citoyens Monge,Laplace , &c. ; ensorte que c’est, ce semble aujourd’hui, de laperfection du calcul intégral des différences finies que dépendcelle du calcul intégral des différences partielles.

On doit à Euler , relativement aux fonctions arbitraires qu’ilfaut ajouter aux intégrales des différences partielles, une obser-vation très-intéressante. D’Alembert vouloit qu’elles fussent assu-îéties à la loi de continuité, c’est-à dire, qu’elles dussent toujours,par exemple , représenter une courbe assujétie à une loi uniformedans sa description. Euler prétendoit que cela n’étoit pas néces-saire , et que ces fonctions pou voient même être discontinues ,au point d’être représentées par les ordonnées d’une courbe quel-conque sans équation , telle que seroit une courbe tracée à lamain et libero ductu , et même sans contiguïté dans ses parties ,Comme une suite de points placés ad libitum. On peut voir sur celaquelques détails dans le mémoire de Lagrange sur le problèmedes cordes vibrantes, premier sujet de cette discussion; elle futensuite reprise entre d’Alembert et Lagrange qui s’est rangé ausentiment d’Euler , et ses raisons ont convaincu tous les géo-mètres qui tiennent aujourd’hui que les fonctions en questionne sont point sujettes à la loi de continuité , ce qui donne à lasolution de certains problèmes une étendue comme indéfinie.

Le cit. Monge a ajouté à la force de ces raisons , par un mé-moire inséré dans le IV e . tome de l’Académie de Turin. Il y faitvoir , à l’égard des intégrales aux différentielles partielles à troisvariables seulement, comme z, x, y, qu’elles ont pour lieu unesurface courbe construite de telle manière qu’elle passe par au-tant d’autres courbes qu’il y a de fonctions arbitraires dans l’in-tégrale complète, c’est-à-dire une, si l'équation différentielle estdu premier ordre ; deux, si elle est du second, &c. ; et il tire decette construction la conséquence que rien n’astreint la fonctionarbitraire à être une quantité algébrique et continue. Il a ensuitedonné divers développemens à cette idée dans les Mémoiresprésentés à l’Académie des Sciences , tom. VII et IX. Cette