DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. S49à différentielles partielles à intégrer. On trouve dans le calculintégral d’Euler une instruction complète sur ce sujet; mais nousne pouvons ici qu’indiquer cette source, la première et princi-pale de toutes : à son défaut, car tout le monde ne peut pasavoir ce volumineux ouvrage , on peut consulter le traité ducalcul différentiel et du calcul intégral du cit. Lacroix, un desplus habiles géomètres que nous ayons.

Tels sont les principaux artifices des inventeurs et premierspromoteurs de ce calcul, d’Alembert et Euler. Mais les géomètresqui les ont suivis y en ont ajouté beaucoup d’autres que nous 11epouvons, attendu l’abstraction de la matière, qu’indiquer à noslecteurs. Le cit. Lagrange nous paroît être le premier qui aitétendu ces spéculations, en résolvant un cas de ces équations,qui avoit jusqu’alors éludé la sagacité des analystes. C’est celuides équations aux différentielles partielles linéaires du premierordre entre un nombre quelconque de variables (1), ce qu’il aensuite étendu à celles qui n’étoient pas linéaires, en enseignantla manière de les réduire aux premières (2). On peut aussi voirdans les Mémoires de l’Académie de 1787 , un mémoire des'plus savans du cit. Legendre, où il parcourt avec soin tous lescas où l’intégration peut s’exécuter.

Nous ne saurions, on doit le sentir, entrer dans des détailssur les équations différentielles de ce genre et du second ordre.jEuler en a attaqué et résolu quelques-unes. Le cit. Laplace aété plus loin, et a donné ( 3 ), pour intégrer l’équation linéairedu second ordre entre trois variables et leurs différences par-tielles, une méthode que le cit. Legendre a perfectionnée encoredans les Mémoires de l’Académie de 1787.

Parmi les difficultés de ce calcul , il en est une qui , si ellen’est pas la plus grande, est l’une des plus considérables; c’estla détermination des fonctions arbitraires à ajouter à l’intégralepour la compléter. Comme l’on joint une constante à une inté-grale ordinaire, et qui se détermine ensuite d’après les condi-tions de la question , qui quelquefois la rendent zéro , ou luidonnent une valeur quelconque, les fonctions arbitraires qui sejoignent à l’intégrale, ont besoin d’être déterminées par lesconditions de la question , et ces conditions sont d’ordinaire ,que cette fonction (lorsqu’il n’y en a qu’une, comme dans l’in-tégration des différences partielles du premier ordre) soit égaleà cette grandeur, ou prenne telle forme particulière lorsque oc

(1) Mém. de Berlin , ann. 1774.

(2) En 1784, Paul Charpit, qu’unemort prématurée enleva peu de tempsaprès aux mathématiques , qu’il cultivoitavec succès, combinant ces deux mé-

thodes de Lagrange, parvint à réduirel’intégration des équations quelconquesdu premier ordre à celle de 2 ou 3 équa-tions différentielles totales. Lacroix,(3; Mém, de l’Acad. 1773.