DES MATHÉMATIQUES. Puit. V. Liv. I. 3 7 5s’ettgendre la logarithmique. Soit en effet, disoit Bernoulli ,( fig . yi ) l’hyperbole entre ses asymptotes rectangulaires DCd ,FC/"dont les deux branches qui constituent la courbe entière ,soient GBI ; gbi ; si l’on prend sur l’asymptote CD un pointquelconque À et un autre E , desquels on tire les ordonnées àl'hyperbole AB, EG, et que l’on fasse EH continuellement pro-

Ï rortionel à l’aire ABGE ou EH par une constante mz=z. ABGE ,e point H sera dans une logarithmique passant par le point A ,puisque AE croissant uniformément, EH croîtra comme le loga-rithme de AE. Ainsi AE devenant égal à AC , et l’aire hyperbo-lique devenant infinie , l’ordonnée EH deviendra infinie, etsera l’asymptote CF de la courbe.

Mais que AE continue de croître et devienne Ae en faisantCe = CE , alors l’ordonnée eh de la courbe, par la constante m tsera égale à l’aire hyperbolique infinie ABFC moins l’aire hyper-bolique infinie Ç/ge qui étant égale à CEGF (puisque C(?^=C£),donnera eh par m = à l’espace AEGB , comme l’étoit HE par rn.Ainsi EH = eh et il résultera une autre courbe égale & semblableà la première, ayant même asymptote /CF , ainsi la logarith-mique, disoit Bernoulli, à deux branches , l’une en dessus ,l’autre en dessous de son asymptote, et l’on doit en conclure qu’àune ordonnée négative répond le même logarithme qu’à sa cor-respondante positive.

On pourroit encore remarquer à l’appui de cela, disoit Bernoulli,que dans la géométrie il n’y a nul exemple de courbe consistanteen une branche unique, comme la logarihmique, si l’on n’admetqu’une de ses branches pour la courbe entière. Il est vrai aussiqu’on n’en connoît aucune qui présente deux branches accou-plées comme les deux attribuées à la logarithmique par ceux quilui en donnent deux, c’est-à-dire ayant d’un côté seulement uneasymptote commune sans en avoir du côté opposé , ce qui établi-roit la continuité. Mais c’est une courbe transcendante et à la-quelle les lois des courbes algébriques ne doivent peut-être pass’étendre.

On peut aussi employer la simple considération de l’aire del’hyperbole entre les asymptotes pour établir l’existence des loga-rithmes des quantités négatives. Car soit {fig. 72) une hyperboleEEAfea entre ses asymptotes , que CA ="C<2 en soit la puissance= 1. Soit une ordonnée quelconque PE. On sait que le logarithmede CP est représenté par l’aire hyperbolique BAEP. Que EP aug-mente jusqu’à l’infini, et par la loi de continuité qui règne entreles branches de l’hyperbole , passe par-delà Vinfini en pe , oùCyj = CP. Le logarithme de Cp sera l’aire BAFK prolongée àl’infini, plus l’aire pckf aussi prolongée à l’infini vers kf. Maiscette dernière étant négative , devra être retranchée , et étant