DES MATHÉMATIQUES. Part. Y. Liv. I. 3 ? 7d’Euler, inséré parmi ceux de l’Académie de Berlin , pour 1749 ,et à un mémoire de Daleinbert sur le même sujet, dans le pre-mier volume de ses Opuscules, imprimé en 1761.
Quoique l’ouvrage de Daleinbert soit fort postérieur à celui deEuler, nous croyons devoir lui donner ici la première place,parce qu’il y renforce les raisons de Bernoulli. Il s’attache surtouta démontrer par la considération des aires de l’hyperbole la né-cessité des deux branches de la logarithmique , et il donna surcela des raisons qui f’orçoient Euler à un aveu singulier ; c’estqu’il y avoit à la vérité au-dessous de l’axe de la logarithmiqueune infinité de points conjugués qui lui appartenoient, mais quinéanmoins ne formoient pas une courbe continue, chose vrai-ment paradoxale.
En effet, disoit Dalembert, pour démontrer que la logarith-mique a deux branches, l’une supérieure, l’autre inférieure, pre-nons , au lieu de dx = ~ qui est l’équation différentielle de cette
courbe, cette équation plus générale dx = , où l’on suppose
que n est un nombre impair quelconque , afin que n — 1 devienneun nombre pair, l’intégrale de cette différentielle est =
qui donne toujours une courbe à deux branches, l’une au-dessus,l’autre au-dessous de son asymptote. Il en doit donc être.de mêmelorsque n — 1 , ce qui est le cas de la logarithmique. Ce raison-nement de Dalembert diffère peu de celui par lequel Bernoulliétablissoit la même chose ; il est seulement tiré d’une considéra-tion analytique plus générale. Dalembert ajoutoit encore que sidans la logarithmique on partage en deux également l’intervalleentre deux ordonnées , comme AC en E (pg~ 73) , l’ordonnéeEF sera moyenne proportionnelle géométrique entre AB et CD ,c’est-à-dire la racine quarrée de AB x CD ; mais la racine de a
est aussi bien —. que -4- ]/ a. Il y a donc au-dessous de EF = -+-"V AB x CD une autre valeur égale E/l De même que dans la pa-rabole où^y 2 — ax on a nécessairement^ = rp V ax-
Je passe plusieurs autres raisons favorables au sentiment deBernoulli et de Dalembert pour passer à quelques unes de cellesque Euler allègue en faveur de celui de Leibnitz.
Telles sont celles-ci : i°. Le logarithme de 1 -t- x est commel’on sait x — {x^-^-x^ — x *, &c. Donc pour avoir le loga-rithme de — 1, il faut ici supposer x =.— 2. Or alors la sérié setransforme en—2 — -.4 — ÿ. 8—-j. 16, &c. Mais cette sérieest bien loin d'être —. o , comme cela est nécessaire dans le senti-ment de Bernoulli. Le logarithme de — 1 sera donc imaginaire ,puisqu’il est d’ailleurs clair qu’il ne peut être ni positif ni négatif.
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