3;8 HISTOIRE

2°. y étant le logarithme de x , on démontre que x=i +—»- -Al—|—^-, &c. ce qui do>nne , comme on le sait déjà, hlogarithme de 1 égal à o ; car si y = o,onaa.'=i, ou si l’oifait x =. 1 , on a 1 -\-y -+- &c. = 1, ce qui nécessite qu<

y soit = o. Mais si l’on fait x = — 1 , on aura — 1 = 1 -\-y -+— , &c., à quoi la valeur de y , supposée égale à zéro, ne sau-roit satisfaire ; car alors on auroit, ce qui est impossible , — 1

Il est vrai que Euler convient qu’on pourroit répliquer à l’égarddu premier raisonnement que de ce qu’une série va en divergeant,on ne peut pas dire qu’elle ne soit pas égale à une quantité finie 5

ainsi - L x = 1 — x -+- x 2 — x^ -+- x 4 , &c. , ce qui , lorsquex = — 2 , donne-d-ou — i = i + 2+/j + 8, &c. Mais cette ré-plique, Euler l’a réfutée dans la suite par des considérations suila nature des suites divergentes , et en expliquant dans quel senson peut dire qu’une pareille suite est égale à l’expression du dé-veloppement duquel elle provient par la division ou l’extraction.

Après une longue analyse des raisons de Leibnitz et Bernoulli,et de quelques-unes de Dalembert qu’il ne nomme point, Eulerfinit par conclure que le sentiment de Leibnitz lui paroît le mieuxfondé ; cependant comme de quelque côté qu’on se tourne il y anombre de contradictions au moins apparentes à concilier, il atenté de le faire (1).

Pour y parvenir, il remonte à une idée sur les logarithmes,dont nous avons parlé plus haut, et que nous avons vue êtredans ses mains la base de tous ses calculs sur les logarithmes.Lest que le logarithme d’un nombre est l’exposant de la puissanced un nombre pris à volonté , lorsque cette puissance devientégale au nombre proposé lui-même. Or en partant de cette idéedes logarithmes, Euler démontre trois propositions, la premièrequ a tout nombre proposé, il correspond une infinité de loga-rithmes différens. 2 0 . Que tout nombre positif n’a qu’un seullogarithme réel , & que tous les autres sont imaginaires. Ainsinommant tr la demi-circonférence du cercle , et A le premier lo-garithme réel du nombre <2, la suite entière des autres est Art

2 , ’ f 'V — i;A±4^V’ — 1; A±6^ ]/-— 1; &c. 3 °. enfin à l’é-gard d’un nombre négatif quelconque, la même analyse le con-duit à ne trouver pour le logarithme d’un nombre négatif — 1 ,

( 1 ) Mên. de l’académie de Berlin, de 1749 .