24 MÉCANIQUE CÉLESTE.

par aucunes forces, sa vitesse est constante, puisque alors Ç=o.C’est ce dont il est facile de s’assurer d’ailleurs, en observantqu’un corps mû dans une surface ou sur une ligne courbe neperd à la rencontre de chaque plan infiniment petit de la surface,ou de chaque côté infiniment petit de la courbe, qu’une partieinfiniment petite du se^nd ordre de sa vitesse; 2 ° que le pointM, en partant d’un point donné avec une vitesse donnée, pourarriver à un autre point, aura, en parvenant à ce dernier point,la même vitesse, quelle que soit la courbe qu’il aura décrite.

Mais si le mobile n’est point assujetti à se mouvoir sur unecourbe déterminée, la courbe qu’il décrit jouit d’une propriétésingulière, à laquelle on a été conduit par des considérationsmétaphysiques, et qui n’est au fond qu’un résultat remarquabledes équations différentielles précédentes. Elle consiste en ce quel’intégrale fvds, comprise entre les deux points extrêmes de lacourbe décrite, y est moindre que sur toute autre courbe, si lecorps est libre, ou sur toute autre courbe assujettie à la mêmesurface sur laquelle il doit se mouvoir, s’il n’est pas entièrementlibre.

Pour le faire voir, nous observerons que P dx^r-Qdy ^r-Rdzétant supposé une différentielle exacte, l’équation ( g ) donne

r S v = P.Sx-r-Q.Sy-\-R.Sz;l’équation (J) du numéro précédent devient ainsi

o —Sx.d.^- -t -Sy.d.yL- -4 -Sz.d.^- — vdt.Sv.dt J dt dt

Nommons ds l’élément de la courbe décrite par le mobile; nousaurons

vdt=ds, ds = \f dx'-+- dy'-\-dz' ;

partant

o =Sx.d. ( ^- - Sy.d.^j- - \-Sz.d .^ — ds.Sv; ( h )