PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME. 185ordre des équations (0), V étant fonction de x,y, z,nommons x, y, z ces trois dernières quantités. L’équation

\ = constante

donnera, par sa différentiation,

/dV\ dx /dV\ dy /d V \ dz

°-—(iû)-dï~ { ~{jy)-dï^\Tr)-u

mais les équations (0) donnent

dV \ dx' / dV\ dy /dV\ d£

dx'j'dt \d/)-dt ^~[dz')-dt ’

dx _ (ix dy' _ (jiy dz' _ (iz

JT~~T r ’ JT T 3- ’ JT ~~ T 3 "’

on a donc l’équation identique, aux différences partielles,

Il est clair que toute fonction de x,y, z, x, y, z, qui, substituéepour V dans cette équation, la rend identiquement nulle, de-vient, en l’égalant à une constante arbitraire, une intégrale dupremier ordre des équations (0).

Supposons

V=U^U'^-U"- 4-etc.

U étant fonction de trois variables x, y, z; U' étant fonction dessix variables x, y, z, x, y, z, mais du premier ordre relative-ment à x, y, z ; U'' étant fonction des mêmes variables, et dusecond ordre relativement à x,y', z ; et ainsi de suite. Substituonscette valeur dans l’équation (/), et comparons séparément i°lestermes sans x', y, z ; 2 ° ceux qui renferment la première puis-sance de ces variables; 3° ceux qui renferment leurs carrés etleurs produits, et ainsi de suite; nous aurons

/dU'\ / dïï \ , / dU' \

Vdy r ) + y-\-!ÿ) + z -\-dz)

/ / du \ , l d U\ , ( dU\ fl ( / dü'\ , / dU"\ . / dV\)

• wr) \-dy-) +z -hr) - ^ ■ \ x -(^)+y\-dÿ-)+z-(—) j,

(dW r \ / d U' T \ , / d U ,r \ )

\iü-) + y\-dÿ-) +z •(—) |

TOME I.

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