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PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME.

on aura ainsi in équations différentielles qui seront de la mêmeforme que dans le cas où Q, Q, etc. sont nuis, avec la seuledifférence que les arbitraires c, c, c, etc. doivent être changéesdans

c — z.fdt. j FQ-hF'Q'-h e te.}, c — a.fdt.\ IIQ -+- H'Q'-i - etc. J, etc.

Or si, dans la supposition de Q, Q', etc. égaux à zéro, on éliminedes in intégrales de l’ordre i —i, les différences des variablesy, y, etc. on aura les n intégrales finies des équations proposées;on aura donc ces mêmes intégrales lorsque Q, Q\ etc. ne sontpas nuis, en changeant dans les premières intégrales, c, c, etc.dans

c — a.fdt. j FQ^r- etc.j, c — ct.fdt. ji/Q-f- etc.j, etc.

41. Si les différentielles

dt.\FQ-{-F'Q'-\-elc.\, dt.\IIQ-\-H'Q' etc.j, etc.

sont exactes, on aura, par la méthode précédente, les intégralesfinies des équations différentielles proposées; mais cela n’a lieuque dans quelques cas particuliers, dont le plus étendu et le plusintéressant est celui dans lequel ces équations sont linéaires. Sup-posons ainsi P, P, etc. fonctions linéaires de y, y, etc. et deleurs différences jusqu’à l’ordre i — 1 , sans aucun terme indépen-dant de ces variables, et considérons d’abord le cas dans lequelQ, Q, etc. sont nuis. Les équations différentielles étant linéaires,leurs intégrales successives seront pareillement linéaires, en sorteque c=V, c=V', etc. étant les in intégrales de l’ordre i —i, deséquations différentielles linéaires

o

dv

P ,

o =

etc.

\, V, etc. peuvent être supposés des fonctions linéaires de y, y, etc.et de leurs différences, jusqu’à l’ordre i —i. Pour le faire voir,

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TOME I.