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LIVRE TROISIÈME.

tégrales (lu produit de chaque force finie du système, par l’élé-ment de sa direction, somme qui dans l’état d’équilibre est nulle,devient un minimum dans l’état de mouvement. C’est en cela queconsiste le principe de la moindre action, principe qui diffère deceux du mouvement uniforme du centre de gravité, de la conser-vation des aires et des forces vives, en ce que ces principes sontde véritables intégrales des équations différentielles du mouve-ment des corps ; au lieu que celui de la moindre action n’estqu’une combinaison singulière de ces mêmes équations.

La force finie d’un corps étant le produit de sa masse par savitesse, et la vitesse multipliée par l’espace décrit dans un élémentdu temps étant égale au produit de cet élément par le carré dela vitesse, le principe de la moindre action peut s’énoncer ainsi.L’intégrale de la force vive d’un système, multipliée par l’élémentdu temps, est un minimum; en sorte que la véritable économiede la nature est celle de la force vive. C’est aussi l’économie quel’on doit se proposer dans la construction des machines, qui sontd’autant plus parfaites, qu’elles emploient moins de force vive,pour produire un effet donné. Si les corps ne sont sollicités paraucunes forces accélératrices, la force vive du système est cons-tante ; le système parvient donc d’une position à une autre quel-conque, dans le temps le plus court.

On doit faire une remarque importante sur l’étendue de cesdivers principes. Celui du mouvement uniforme du centre degravité et le principe de la conservation des aires subsistentdans le cas même où, par l’action mutuelle des corps, il survientdes changements brusques dans leurs mouvements, et cela rendces principes très-utiles dans beaucoup de circonstances; mais leprincipe de la conservation des forces vives, et celui de la moindreaction exigent que les variations du mouvement du système sefassent par des nuances insensibles.

Si le système éprouve des changements brusques par l’action