INTRODUCTION.

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en développant ensuite le premier membre, l’égalité subsistera,pourvu que, dans chaque terme, on place la fonction de l’indiceà la suite des puissances des caractéristiques S et A, et des pro-duits de ces puissances ; et que l’on écrive cette fonction, au lieude l’unité, dans le second membre; ce qui donne une expressionde cette fonction, au moyen de ses valeurs successives et de sesdifférences.

Si l’on applique les mêmes considérations à d’autres valeurs desmultiplicateurs B et C, on est conduit à ce résultat général:quelles que soient les fonctions de la variable t, représentées parB et C, on peut, dans le développement de toutes les équationsidentiques qui peuvent être formées entre elles, substituer au lieude ces fonctions les caractéristiques correspondantes ê et A,pourvu que l’on écrive la fonction de l’indice à la suite des puis-sances ou des produits de puissances des caractéristiques, et quel’on multiplie, par cette fonction, les termes indépendants descaractéristiques. En effet, il est visible que si, dans un termequelconque du développement de l’équation entre B et C, dontil s’agit, r est la puissance de B, et r celle de C, il faut, pourrepasser des fonctions génératrices à leurs coefficients, écrire <5 aulieu de B, A au lieu de C, et placer le produit des puissancesr et r de ces caractéristiques, devant la fonction de l’indice.

On doit observer ici que les équations entre les caractéristiquessont identiques, comme les équations correspondantes entre B et C.Ainsi la fonction de l’indice augmenté de l’indéterminée n, par unesérie de différences, est identique avec cette série : elle n’est, aulond, que cette fonction transformée. Mais c’est dans ces trans-formations que résident le pouvoir de l’analyse et ses avantages.Si, par exemple, la nature d’une question conduit à regardercomme nulle la différence troisième d’une fonction, alors la sérieprécédente se termine et devient la fonction de n, qui satisfait àcette condition, et qui, par conséquent, est l’intégrale de l’équa-