INTRODUCTION.

XXXVII

Dans ce cas, la première variable sera identiquement égale autrinôme, deux moins la seconde variable plus B; la première va-riable, élevée à la puissance n prise en moins, sera donc égale à cetrinôme élevé à la même puissance. Multiplions les deux membresde cette égalité par la série A, divisée par la puissance ri de laseconde variable, et développons le second membre. En repassantdes fonctions génératrices à leurs coefficients, celui du produit dedeux puissances données des variables dans le premier membresera ce que devient le coefficient du même produit dans A, lors-qu’on augmente ses indices, respectivement, des indéterminées net ri. Dans un terme quelconque du développement du secondmembre, le coefficient du même produit sera ce que ce termedevient, en y substituant au lieu de B, 5 affecté du même expo-sant et placé devant le coefficient de A, dans lequel on diminuele second indice de l’exposant de la seconde variable que l’on sup-prime. Chaque terme, indépendant de B, doit être multiplié parle coefficient de A, dans lequel le second indice est pareillementdiminué de l’exposant de la seconde variable que l’on supprimeencore. On aura ainsi une fonction des indices augmentés respec-tivement de n et de ri, par une suite de puissances successivesde 5 placées devant la fonction dans laquelle le second indice seraseul variable.

Si la fonction des indices est telle qu’affectée de la caractéris-tique <$, elle devienne nulle; alors le second membre se réduit àune suite de termes multipliés par la fonction des indices dontle second varie seul. Cette fonction est le développement du bi-nôme, deux moins un, élevé à la puissance n prise en moins ; lestermes successifs de ce développement devant être multipliés res-pectivement par la fonction des indices, dans laquelle on faitcroître successivement le second indice, des quantités ri, ri moinsun, ri moins deux, etc. En considérant donc comme fonction desdeux indéterminées n et ri, la fonction précédente dans laquelle