XXXVIII
INTRODUCTION
les indices sont augmentés de n et de ri, cette fonction sera donnéepar le développement du binôme, deux moins un, élevé à la puis-sance n prise en moins, en multipliant respectivement les termesde ce développement, par la même fonction dans laquelle on doitfaire n nul, et ri successivement égal à ri, ri moins un, ri moinsdeux, etc. : la fonction de n nul et de ri est une fonction arbitrairede ri, qui doit être déterminée par les conditions du problème.Telle est donc l’intégrale de l’équation aux différences partielles,représentée par l’égalité à zéro, de â placé devant une fonctionde n et de ri; et il est clair que, pour cette égalité, la fonctiondes indices dans A doit être telle qu’en y diminuant l’indice n del’unité, en l’ajoutant à cette fonction dans laquelle ri est diminuéde l’unité, en retranchant de cette somme le double de la fonctionelle-même, le reste soit nul; ce qui donne la fonction de n etde ri, égale à la moitié de cette fonction dans laquelle n est dimi-nué de l’unité, plus à la moitié de la même fonction dans laquelleri est diminué de l’unité. C’est l’équation aux différences partielles,représentée par la condition de â nul.
Cette équation est celle à laquelle on est conduit par la consi-dération du problème proposé par Pascal à Fermât, et dont nousavons parlé ci-dessus : n et ri sont ici les coups qui manquent aupremier et au second joueur pour gagner la partie; et la fonctionde ces indices est la probabilité quelle sera gagnée par le premierjoueur. Cette probabilité devient l’unité, lorsque n est nul, etjamais n étant nul, ri ne peut être zéro, ou négatif; en sorte qu’ilfaut rejeter de l’intégrale précédente tous les termes dans lesquelscela existe. De là il suit que la probabilité du premier joueur,pour gagner la partie, est égale aux ri premiers termes du bi-nôme, deux moins un, élevé à la puissance n prise en moins.Telle est la solution générale de ce problème.
De plus amples développements de la méthode que nous ve-nons d’exposer seraient difficilement entendus sans le secours de