INTRODUCTION.

XLI

autres opérations algébriques. Mais, dans ses applications à lagéométrie et à la mécanique, il est indispensable d’introduire leprincipe des limites. Par exemple, la sou tangente d’une courbeétant la limite géométrique de la sousécante, ou la ligne dontcelle-ci approche sans cesse, à mesure que les points d’intersectionde la sécante avec la courbe se rapprochent, l’expression analy-tique de la soutangente doit être pareillement la limite de l’expres-sion analytique de la sousécante; elle est, par conséquent, égaleau premier terme de cette dernière expression développée suivantles puissances de l’intervalle qui sépare les ordonnées des deuxpoints d’intersection.

On peut encore envisager la tangente, comme la droite dontl’équation approche le plus de celle de la courbe près du pointde contingence. L’ordonnée de cette courbe étant une fonctionde l’abscisse, si, à partir de ce point, on fait croître l’abscissed’une quantité indéterminée, suivant les puissances de laquelle lafonction soit développée, il est visible que la somme des deuxpremiers termes de ce développement sera l’ordonnée de la droitela plus approchante de la courbe; elle sera, conséquemment,l’ordonnée de la tangente, et le coefficient de l’indéterminée dansle second terme exprimera le rapport de l’ordonnée à la soutan-gente. Il est facile de prouver, par le principe des limites, quetoute autre droite, menée par le point de contingence, entreraitdans la courbe près de ce point.

Cette manière singulièrement heureuse de parvenir à l’expres-sion des soutangentes est due à Fermât, qui l’a étendue auxcourbes transcendantes. Ce grand géomètre exprime, par la carac-téristique E, l’accroissement de l’abscisse; et, en ne considérantque la première puissance de cet accroissement, il détermineexactement, comme on le fait par le calcul différentiel, les sou-tangentes des courbes, leurs points d’inflexion, les maxima etmimma de leurs ordonnées, et généralement ceux des fonctions

TOME VU. F