XI.

INTRODUCTION.

téristiques négatives expriment des intégrales, on aura, par ledéveloppement du second membre, les différences et les inté-grales dans lesquelles l’indice varie d’une quantité quelconque i,par une suite de différences et d’intégrales dans lesquelles l’indicevarie de l’unité. Si l’on suppose i infiniment petit, les résultatssubsisteront toujours et se simplifieront, en rejetant les infinimentpetits d’un ordre supérieur à celui que l’on conserve. Ces passagesdu fini à l’infiniment petit ont l’avantage d’éclairer les points dé-licats de l’analyse infinitésimale qui ont été l’objet de grandesdiscussions parmi les géomètres. C’est ainsi que j’ai démontré lapossibilité d’introduire des fonctions discontinues, dans les inté-grales des équations aux différentielles partielles, pourvu que ladiscontinuité n’ait lieu que pour les différentielles des fonctions,de l’ordre de ces équations. Les résultats transcendants du calculsont, comme toutes les abstractions de l’entendement, des signesgénéraux dont on ne peut connaître la véritable étendue qu’enremontant par l’analyse métaphysique aux idées élémentaires quiy ont conduit, ce qui présente souvent de grandes difficultés; carl’esprit humain en éprouve moins encore à se porter en avant qu’àse replier sur lui-même.

Le passage du fini à l’infiniment petit répand un grand joursur la métaphysique du calcul différentiel. On voit clairement, parce passage, que ce calcul n’est que la comparaison des coefficientsdes mêmes puissances des différentielles, dans le développementen série, de fonctions identiquement égales des indices augmentésrespectivement de différentielles indéterminées. Les quantités quel’on néglige comme infiniment petites d’un ordre supérieur à celuique l’on conserve, et qui semblent, par cette omission, ôter à cecalcul la rigueur de l’algèbre, ne sont que des puissances de cesdifférentielles, supérieures aux puissances dont on compare lescoefficients, et qui, par là, doivent être rejetées de cette compa-raison, en sorte que le calcul différentiel a toute l’exactitude des