INTRODUCTION.

\LV

négatif indique l’unité divisée par la quantité élevée au même ex-posant pris positivement. Ces remarques le conduisirent à intégrergénéralement les différentielles monomes; d’où il conclut les in-tégrales définies d’un genre particulier de différentielles binômesdont l’exposant est un nombre entier positif. En observant ensuitela loi des nombres qui expriment ces intégrales, une série d’inter-polations et d’inductions heureuses, où l’on aperçoit le germe ducalcul des intégrales définies, qui a tant exercé les géomètres, ell’une des bases de ma nouvelle théorie des probabilités, lui donna lerapport de la surface du cercle au carré de son diamètre exprimépar un produit infini qui, lorsqu’on l’arrête, resserre ce rapportdans des limites de plus en plus rapprochées : résultat l’un desplus singuliers de l’analyse. Mais il est remarquable que Wallis,qui avait si bien considéré les exposants fractionnaires des puis-sances radicales, ait continué de noter ces puissances comme onl’avait fait avant lui. Newton, si je ne me trompe, employa lepremier, dans ses Lettres à. Oldembourg, la notation de ces puis-sances par des exposants fractionnaires. En comparant par la voiede l’induction dont Wallis avait fait un si bel usage, les exposantsdes puissances du binôme avec les coefficients des termes de sondéveloppement, dans le cas où cet exposant est entier et positif,il détermina la loi de ces coefficients, et il l’étendit, par analogie,aux puissances fractionnaires et négatives. Ces divers résultats,fondés sur la notation de Descartes , montrent son influence sur lesprogrès de l’analyse. Elle a encore l’avantage de donner l’idée laplus simple et la plus juste des logarithmes, qui ne sont, en effet,que les exposants d’une grandeur dont les puissances successives,en croissant par degrés infiniment petits, peuvent représentertous les nombres.

Mais l’extension la plus importante que cette notation ait reçueest celle des exposants variables, ce qui constitue le calcul expo-nentiel, Tune des branches les plus fécondes de l’analyse moderne.