XLVI
INTRODUCTION.
Leibnitz a indiqué, le premier, les transcendantes à exposantsvariables, et, par là, il a complété le système des éléments dontune fonction finie peut être composée; car toute fonction finieexplicite d’une variable se réduit, en dernière analyse, à des gran-deurs simples combinées par voie d’addition, de soustraction, demultiplication et de division, et élevées à des puissances cons-tantes ou variables. Les racines des équations formées de ces élé-ments sont des fonctions implicites de la variable. C’est ainsiqu’une variable ayant pour logarithme l’exposant de la puissancequi lui est égale, dans la série des puissances du nombre dont lelogarithme hyperbolique est l’unité, le logarithme d’une variableen est une fonction implicite.
Leibnitz imagina de donner à sa caractéristique différentielleles mêmes exposants qu’aux grandeurs; mais alors ces exposants,au lieu d’indiquer les multiplications répétées d’une même gran-deur, indiquent les différentiations répétées d’une même fonction.Cette extension nouvelle de la notation cartésienne conduisitLeibnitz à l’analogie des puissances positives avec les différen-lielles, et des puissances négatives avec les intégrales. Lagrangea suivi cette analogie singulière dans tous ses développements;et, par une suite d’inductions qui peut être regardée comme unedes plus belles applications que l’on ait faites de cette méthode,il est parvenu à des formules générales aussi curieuses qu’utilessur les transformations des différences et des intégrales les unesdans les autres, lorsque les variables ont des accroissements finisdivers, et lorsque ces accroissements sont infiniment petits. Mais iln’en a point donné les démonstrations qu’il jugeait difficiles. Lathéorie des fonctions génératrices étend à des caractéristiquesquelconques la notation cartésienne : elle montre avec évidencel’analogie des puissances et des opérations indiquées par ces ca-ractéristiques, en sorte quelle peut encore être envisagée commele calcul exponentiel des caractéristiques. Tout ce qui concerne