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LIVRE PREMIER.
DU CALCUL DES FONCTIONS GÉNÉRATRICES.
PREMIÈRE PARTIE.
CONSIDÉRATIONS GENERALES SUR LES ELEMENTS DES GRANDEURS.
La notation des exposants, imaginée par Descartes , a conduit Wallis et Newtonà la considération des exposants fractionnaires, positifs et négatifs, et a 1 in-terpolation des séries. Leibnitz a rendu ces exposants variables, ce qui adonné naissance au calcul exponentiel, et a complété le système des élémentsdes fonctions finies. Ces fonctions sont formées de quantités exponentielles,algébriques et logarithmiques ; quantités essentiellement distinctes les unesdes autres. Les intégrales ne sont pas souvent réductibles à des fonctionsfinies. Leibnitz ayant adapté à sa caractéristique dilférentielle, des exposantspour exprimer des différentiations répétées, il a été conduit à l’analogie despuissances et des différences; analogie que Lagrange a suivie, par voied induction, dans tous ses développements. La théorie des fonctions gé-nératrices étend cette analogie à des caractéristiques quelconques, et lamontre avec évidence. Toute la théorie des suites, et 1 intégration deséquations aux différences, découle avec une extrême facilité de cettethéorie. l ,a o e 1 •
Chapitre premier. Des fonctions génératrices à une variable. . . page 8.
u étant une fonction quelconque d’une variable t, et y x étant le coefficient det x dans le développement de cette fonction ; u est fonction génératrice de y x .
Si l’on multiplie u par une fonction quelconque s de ^ , on aura une nouvelle
fonction génératrice qui sera celle d’une fonction de y x , y x+I , etc. En dési-gnant par y. y x cette dernière fonction, u.s' sera la fonction génératrice deŸ-y x ; en sorte que l’exposant de s, dans la fonction génératrice, devient celuide la caractéristique y, dans la fonction engendrée. n° i , page 8.