662 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

On voit ainsi que la même équation qui a lieu entre T et Z a lieuentre leurs caractéristiques S et A, pourvu que dans le dévelop-pement de cette équation suivant les puissances de S et de A, onsubstitue au lieu d’une puissance quelconque S r , % T .y x ; au lieud’une puissance A r ', A r '. y x ; au lieu d’un produit tel que 5 r . A r ,3 r A r '. y x ; et que l’on multiplie par y x , les termes indépendants de

h et A. Ainsi, en supposant T égal à ÿ —1 , Z= i —1, Sy x sera

la différence finie de y x , x variant de l’unité ; Aj x sera la différencefinie de y x , x variant de i; on a ensuite

et par conséquent

ce qui donne

Z-[(n- 77—1]",

A"= [(1 -t- S )' —x]*,

pourvu qu’après le développement on place y x après les puissancesdes caractéristiques. Cette équation aura encore lieu, en faisant nnégatif, mais alors les différences se changent en intégrales. Laconsidération des fonctions génératrices fait voir ainsi, de la ma-nière la plus naturelle et la plus simple, l’analogie des puissanceset des différences : on peut considérer cette théorie comme lecalcul des caractéristiques.

Si l’on a o=<§j x , on aura une équation aux différences finies.UT devient alors un polynôme qui ne renferme que des puissancesde t plus petites que la plus haute de t dans T. Désignons par Q,le polynôme en t, le plus général de cette nature; on aura

Le coefficient de t x dans le développement de U sera l’intégrale y xde l’équation o=Sj x ;par cette raison, je nomme U fonctiongénératrice de cette équation.