QUATRIÈME SUPPLÉMENT.

I. U étant une fonction quelconque d’une variable t, si on ladéveloppe suivant les puissances de t, le coefficient de t x , dans cedéveloppement, sera une fonction de x, que je désignerai par y x ;U est ce que j’ai nommé Jonction génératrice de y x . Si l’on mul-tiplie U par une fonction T de t, pareillement développée suivantles puissances ascendantes de t, le produit UT sera une nouvellefonction génératrice d’une fonction de x, dérivée de la fonction y x

suivant une loi qui dépendra de la fonction T. Si T est égal à y — 1 ,

il est facile de voir que la dérivée sera — y x , ou la différencefinie de y x . Désignons généralement, quel que soit T, cette dérivéepar Zy x : si l’on multiplie le produit UT par T, la dérivée du produitUT ’ sera une dérivée de Sy x semblable à la dérivée de Sy x eny x ; onpourra donc désigner par S’y* cette seconde dérivée; d’où il estvisible généralement que UT n sera la fonction génératrice deSi l’on multiplie U par une autre fonction Z de t, pareillementdéveloppée suivant les puissances ascendantes de t; et si l’ondésigne par la caractéristique A, ce que nous avons nommé Srelativement à la fonction T; UZ n sera la fonction génératricede A n y x .

On peut concevoir T comme une fonction de Z : en dévelop-pant cette fonction en série par rapport aux puissances ascen-dantes de Z, on aura une expression de T de cette forme

r=d">-f-d (,) . Z+/1 W .Z’+-... etc.

En multipliant cette équation par U, et repassant des fonctionsgénératrices aux coefficients, on aura

$y x =z A M .y x -)-A [ 'K Aj*-)-d w . A’j*-f-. .. etc.