GÉOMÉTRIE. 55. 277

Soient les deux triangles ABC, DEF (Jig, 23) aux côtés pro-portionnels. Sur ÀB prenant AG DE , et sur AC , AH = DF,puis menant GH , cette ligne est parallèle à BC, parce qu’ellecoupe les deux autres côtés proportionnellement ; les trianglesA GH , ABC sont donc équiangles et par conséquent semblables.On a donc AB : BC : : AG : GH. Or, AB : BC : : DE : EF ;donc AG : GH : : DE : EF. AG étant égal à DE, GH n EF, etpar conséquent les triangles AGH , DEF sont égaux commeayant les trois côtés égaux chacun à chacun. Or, le premier estsemblableau triangle ABC ; donc DEF lui est aussi semblable.

3° Deux ti'iangles ABC, A'B'C' (fig. 23 bis) sont semblableslorsqu'ils ont un angle égal , A ” A', compris entre des côtésproportionnels AB : A'B' :, AC : A'C'.

En effet, les triangles ABC, ÀC"C" donnent A.B : AB ff : :AC AC"'. Or de la proportion hypothétique combinée aveccotte dernière, on tire A'B' : AB" : : AT/ : AC", et commeA'IV — AB", il en résulte A'C' = AC". Donc les deux trianglesA'B'C', AIV'C" sont égaux; donc ABC, A'B'C' sont semblables.

4° Veux triangles sont semblables lorsque les côtés de l'unsont perpendiculaires aux côtés de Vautre.

Car, dans ce cas, deux angles au moins de chaque triangle sontégaux à deux angles de l’autie, chacun à chacun : donc, etc.

3. Théorème sua les lignes droites qui se coupent dans lecercle. Les parties de deux cordes qui se coupent dans lemême cercle , sont réciproquement proportionnelles.

Menant BC et DE ( Jîg, lij), les deux triangles ABC , ADEsonL semblables comme équiangles; car ils ont un angle égal enA, et ABC = EDC, ACB = DEB comme interceptant le memearc entre leurs côtés. Or, dans ces triangles, les côtés homolo-gues donnent la proportion AB : AC : : AD : ÀE ; donc, etc.

Théorème sur les droites qui se coupent hors du cercle.Si d'un point pris hors du cercle , on mène des sécantes , ceslignes entières sont réciproquement proportionnelles à leursparties extérieures .

Tirant EB et DC ( fig. i5) , les triangles ÂBE , ACD ont l’an-gle A commun ; de plus B =rC, comme mesurés tous deux parla moitié de DE ; donc ces triangles sont équiangles et par con-