2^6 GÉOMÉTRIE. 52. 55.

pendiculaire sur l’hypoténuse, elle partage le triangle rectangleen deux autres triangles rectangles qui sont équiangles entre euxet avec le triangle total, et par conséquent semblables.

N° 33.

Théorcmes.i. Sur la ligne menée parallèlement à la base

d'un triangle 1 . —- 2 . Sur les triangles semblables. — 3. Sur

les droites qui se coupent dans le cercle ou hors du cercle.

1 . Théorème sür la ligne menée parallèlement a la. based’un ti.iangle. Toute ligne menée parallèlement à la base (Tuntriangle divise les cotés en parties proportionnelles.

Soit la ligne DE ( fig. 22 ), menée parallèlement à la base dutriangle AUC, je dis qu’elle divise tes côtés AB, AC, propor-tionnellement, de sorte qu’on a AD ; DB : : AE : EC.

En effet, joignons BE et DC ; les deux triangles BDE, DECont même base DE ; ils ont aussi même hauteur, puisque les sont*mers B et C sont situés sur une pai allèle à la base ; donc ces trian-gles sont équivalents , et d’un autre côté, les triangles ADE, BDEdont E est le sommet commun, ont même hauteur, et sont en-tre eux cornu e leurs bases AD, DB ; on a donc ADE : BDE : : AD :DB. — Enfin les triangles ADE, DEC, dont D est le sommetcommun , ont «aussi même hauteijx et sont entre eux commeleurs bases, AE, EC ; on a donc A 1>E : DEC :: AE : EC.Mais le triangle BDE = DEC ; donc, à cause du rapport com-mun dans ces deux proportions , on conclura AD : DB : : AE :EC ; ce qu’il fallait démontrer.

2. Théorèmes sur les triangles semblables. i° Deux trian-gles équiangles ont les cotés homologues proportionnels et sontsemblables.

Soient ( Jig. 23} deux triangles équiangles BAC, EDF. Pre-nant sur AB une partie AG:= DE, et sur AC une partie AH =DF, et menant GH, le triangle GAH = EDF, et la ligne GHest parallèle a la base BC. Or, on a AG : GB : : AH : HC, etpar conséquent AG GB : AG : : HA -f- HC : A.H ; donc AB :AG ou DE : : AC : AH ou DF : donc, etc.

2 0 Deux triangles qui ont les côtés homologues proportion-nels sont équiangles et semblables .

1 . Il est inutile de considérer ici le cas de l’incommensurable(note du programme).