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connaît. Tout algébriste se sert de l’analyse logique pour com-mencer et pour conduire le calcul ; mais en même temps le secoursde l’algèbre facilite extrêmement l’application de cette analyse àla solution des problèmes. ( Voyez le paragraphe suivant.)

§ XI. Eclaircissement sur les élémens d’Algèbre.

L’imperfection que nous avons remarquée dans plusieurs desnotions que donnent pour l’ordinaire les élémens de géométrie,ne se rencontre guère moins dans celles que présentent la plupartdes élémens d’algèbre ; quelques exemples en seront la preuve.

La première, en un sens la plus essentielle des définitionsque ces élémens doivent offrir, est celle de l’algèbre même. Ilsemble que les auteurs d’élémens se soient mis peu en peine dedonner une idée nette de la nature de cette science et de sonobjet. Les uns disent que c’est l’art de faire sur les lettres del’alphabet les mêmes opérations qu’on fait sur les chiffres ; défi-nition ridicule à tous égards. Les autres se bornent à dire quec’est la science du calcul des grandeurs en général; définitionplus exacte , mais qui a besoin d’être plus développée qu’elle nel’est ordinairement par les auteurs élémentaires.

Il faut d’abord partir de ce principe , que le calcul des gran-deurs ne peut consister qu’à déterminer le rapport des gran-deurs entre elles. Or il y a , comme on le verra à la fin duparagraphe XII, deux sortes de rapports; les uns qui peuventêtre exprimés exactement par des nombres, soit entiers, soitrompus; les autres, qu’on appelle incommensurables, et qui nepeuvent être exprimés par des nombres que d’une manière ap-prochée , mais qui peuvent être représentés, ou qu’on peutimaginer être représentés d’une autre manière, par exemple, parles rapports d’une ligne à une autre. Nous allons faire voir d’a-bord quelle est l’utilité des caractères algébriques pour repré-senter les nombres proprement dits , et les rapports qu’ils expri-ment ; nous verrons ensuite l’utilité de ces mêmes caractèrespour représenter les rapports incommensurables.

Pour sentir quel est l’avantage d’exprimer les nombres pardes caractères algébriques, il faut remarquer que l’arithmétiqueordinaire a deux sortes de principes. Les uns sont dépendansdes signes ou chiffres par lesquels on exprime les nombres, etce sont ceux qu’on appelle proprement règles de l’arithmétique;règles qui sont attachées à la nature de ces signes, et qui se-raient différentes, si au lieu de dix caractères dont nous nousservons pour exprimer tous les nombres possibles, nous en