a decimaoftaua ,imius.

a vige fi-ma nona ,

9 -

G. I.

a Schol.vigejimaofta.ua, c>.b decimaoft. vati ,huius.c vige fi-ma, huius ,4 decimasexta , i-«-ius.

a quarta,

2 .

b vigest-mn, huius,c oftaua,huius.d decimasexta, hu-

41 Q. Casparis Bacheti

e it ipsa vnitas: Productus autem ex vnitate CLunBCbis, est duplum ipsius B C. Patet ergo qua-dratum O arquari quadrato A & vnitati, & duplo ipsius B C. Quod cenionstrandum erat.

SCHOLIVM.

Eadem prorsus ratione fi cuilibet quadrato addatur quadruplum fui lateris & frater ea 4. ostendetur'fieri quadratum lattns btnarto maioris. Etfi quaarato addatur jextuphtm jui latens , (fi- praterea 9.fiet quadratus latens ternario maioris , & fec in infinit um multiplicando latus per omnes numeros paresordinate dispostos , & assumendo quadratos illis collaterales seu quadratos ftmijfum eorundem numero-rum parium. Nec ad hoc demonfirandum requiritur aliud quam quarta, 2.

PROPOSITIO XIX.

Sia quolibet quadrato auferatur numerus vnitate minor duplo lateris illius , relin-quetur quadratusalatere vnitate minore.

R Cio -’Sit A quadratus , cuius latus B cuius duplum C,Vnde ablata vnitate relinquaturD 4 5 ' g 0, D & sit E vnitate minor ipso B. Dico fi D auferatur a quadrato A, relinqui quadra-

E> p- 4 - • tum ipsius E. sumpto enim F duplo ipsius E, cüm B E differant vnitate, patet eo-

rum dupla C F differre binario. Quare idem fiet numerus siue auferatur vnitas cx C. siue addatur'vnitas ad F, nempe idem D. Atqui si ad quadratum ipsius E addatur duplum eiusdem E vnitate au-ctum nempe D. a fiet quadratus ipsius B nempe A. Igitur si ex A detrahatur D. residuum erit qua-dratus ipsius E. Quod demonstrandum erat.

PROPOSITIO XX.

Omnis numerus quadratus aut impar est, aut pariter par-

A 2 a 16 ^ numerus quadratus A, cuius latus B. dico A vel imparem este, vel pariter parem.

r> *' r, ' Etenim vel B impar est, vel par. Sit primum impar. Quia ergo ex impare B in imparemB. sic A. a Cric A impar.

Deinde sit B par. Quia igitur ex pari B in parem B fit A, erit A pariter parex definitione. Quamo*brem A vel impar est, vel pariter par. Quod demonstrandum erat.

COROLLARIVM.

Nullus numerus pariter impar tantum, est quadratus.

Pacet, cum numerus pariter impar tantum, nec impar sit, nec pariter par.

PROPOSITIO XXI.

Qujlibet quadratus impar, excedit numerum pariter parem vnitate.

Sit A quadratus impar, cuius latus B. & ab ipso A detracta vnitate supersit C dico CA 25. C 24. este pariter parem, Sumatur D numerus vnitate minor ipso B. Quia ergo Best imparB 5- D 4. ^ nam ß B e ß- et par ^ ex ductu illius in feipsum fieret A par contra hypothesim ) erit

D par. 4 Atqui duplum ipsius D vnä cum quadrato eiusdem D,xquatur numero C.Quadratus autemnumeri paris D, c est pariter par. Duplum quoque numeri paris D est pariter par ( cum fiat ex bina-rio pari numero, in D parem:) igitur & C compositus ex duobus pariter paribus , ^est pariter par.Quod demonstrandum erat.

PROPOSITIO XXII.

Duorum quorumlibet quadratorum interuallum, aut impar est, aut pariter par.

p Sint duo quadrati A maior & B minor j quorum interuallum C. Dico C este pariter

A r* (S prrem , ve! imparem- Sumatur ipsius A latusDE, & latus ipsius B sit DE, ita vc

'" I p" p E F sit differentia dictorum lacerum. Itaque E F vel par est , vel impar. Sit primum™. par. Cum igitur interuallum quo quadratus A superae quadratum B 4 sequetur qua-

drato ipsius E F & producto ex D E in E F bis, erit C aequalis quadrato ipsius EF & producto exD E in E F bis, z At quadratus paris numeri E F est pariter par. Necnon & duplum producti ex D EinEF est pariter par, ^ciim dimidium eius , nempe productus ex D E in EF parem, sit par. 1 * Igi-tur C compositus ex duobus pariter paribus, est pariter par. Quod erat propositum.