Porismatum Liber secundus. 45

Haec quoque aliis verbis idem pronunciat, quod septima 2. Etenim sint inaequales nupteri ACA D C B niaior&CB minor, & abscindatur Bc squalis ipsi cb. ita vt ap sit in«

" .. teruallum ipsorum ac. cb. Dico summam quadratorum ab ipsis ac. cp,

aequari duplo plani sub ac. cb. vnä cum quadrato ipsius ad. Qu,ia enim numerus ac sectus estvtcumque m D,per septima 2. quadratus ex a c ctun quadrato exD C. idest summa quadratorum abipsis A c. CB. aequatur duplo plani sub ac. d c, seu sub a c. c b. vnal cum quadrato ipsius a 0. Quoddemonstrandum erat. PROPOSITIO V.

Quadratus summ® duorum numerorum, «equalis est quadruplo plani sub ipsis nu-meris contenti, vna cum quadrato interualii eorundem.

Haec rursus eadem est cum octaua 2. siut enim inaequales numeri ab maior, &b p minor ,& abs-A C B D cindatur c b aequalis ipsi bd, ita vt a c sit interuallum ipsorum ab. b D. Di-

co quadratum totius a d aequari quadruplo plani sub a b, b d. vna cum qua-drato interualii ac. Cum enim numerus ab sectus sit vtcumque in c. per octauam 2. quadratuscompositi cx ab. cb. nimirum totius a d, sequatur quadruplo plani tub ab. G b. seu tub ab. bd,cum quadrato ipsius a c. Quod demonstrandum proponebatur.

PROPOSITIO VI.

Duorum inaequalium quadratorum summa, dupla est quadrati semistis summae late-rum, & quadrati semiffis interualii eorundem.

Haecpon differta nona 2. sint enim inaequales numeri ad. db, & totius A B. semiffis esto A c. velA C D B ^ v ergo per ostensa fecunda buius c p erit semiffis interualii ipsorum A D. p B.

Itaque dico summam quadratorum a-b ipsis ad d b. duplam esse quadrato*rum ab ipsis cb. cd. Quod ipsum enunciatnona 2 . Quamobrem conflat propositum»

PROPOSITIO VII.

Quadratus summae duorum numerorum , & quadratus interualii eorum simul,dupli sunt quadratorum ab ipsis numeris.

Haec quoquecoincidit cum decima 2 . sint enim inaequales numeri ac. minor, & cp maiorA C B D & a maiori abscindatur c b minori a c aequalis, ita vt b D sit interuallum ip-

" .. forum a c. c d. Dico Quadratum totius a d cura quadrato interualii b d esse

duplum quadratorum ab ipsis a c. c d. Cum enim a b sectus sit bifariam in c. & adiectus sit eia D,per decimam 2. Quadrati ipsorum a q. b d simul dupli sunt quadratorum ab ipsis ac. cd. Quoderat offendendum. COROLLAllI VM.

Cuiuslibet numeri ex duobus quadratis composti tam dimidium quam duplumcomponitur & ipsum ex duobus quadratis.

SCHOLIVM.

Colligitur manifesto hoc corollarium ex his duabus po fremis propoßiionibus , verum estin om-ni numero fine panffiue impari , fiut integro ,ßuefraÜ:o , cum ha dua demonstrationes omnibus numerisconuemant , vt apparet, vnde constat lapsum este Cardanum cap. 42. sua -Arithmetica regula 120. vbihanc proprietatem numeris fraEhs conuemre negat. INotandus etiam error Ntcolat Tartalea hb. 6.fecunda partis quast. 48. vbt ait fi numerus ex duobus quadratis compofitus fit duplus alterius exduobusitem quadratis contpofiti , femper euenire vr minus latussubduplorum fit in teruallum inter maius latuseorundem est minus duplorum ,vl quia quadrate 64. & 4 .fimulsunt dupli quadratorum 25. F 9. acciditflatus ipfius 9. este disterentium laterum y. est 2. Etenim eum v ter que numerus ex duobus quadratiscompositus , infinitis modis componatur ex duobus quadratis, vt ostendit Diophantus quast. decimalib.z.faiie vterque infinitis modis diuidipoterit m duos quadratos in quibus non trnniet quod fempereuenire aster it Tartalea , quod vnteo exemplo probare sufficiet. Quadrati izuest 9 fimul dupli sunt qua*stratorum 64. est I. cum illorum summa fit 150. horum 6y. Attamen cum latera illorum fint 11. gr z.horum 8. est 1. manisejhtm est , minus horum nempe 1. non este interuallum ipsorum 8. est 5. Rursus 130.componitur ex duobus quadratis 81. (st 49. At < 5 y. componitur e duobus 49 (st 16. est illorum latera sunt9- & 7- istorum 7. est 4. vbi tamen 4. non est interuallum ipsorum 7. est 7- Ferum quidem est fi alitercomparemur hi quadrati, euenire quod ait Tartalea nimirum fi quadrati lil.est 9. comparentur tpfis49- & 16- velfiquadratiZi. (st 49. comparentur tpfis 64. est 1. Hoc igitur distinguere debuit Tarta-lea ; sed doElrinam de numeris e duobus quadratis compofitis perscite non calluit.

Hinc etiam colligere licet. Nullum numerum pariter parem tantum componi posse ex duobusquadratis integris & inaequalibus. Nam si hoc ponatur, weile concludetur ex quibusdam proposi-tionibus lib. 1. porifm. & ex sexta huius, illius quoque dimidium componi e duobus quadratisin-tegris& inaequalibus. Quia igitur numeri pariter paris tantum, contique dimidium fumi potest, &dimidium dimidij donec ad binarium & ad vaitatem deueniatur per trigesimam quartam 9. Eucli-dis, patet sequi & ipsum binarium & ipsam ynicatcm componi quoque ex duobus quadratis inte-g r is& inaequalibus. Quod est impossibile.