Diophanti Alexandrini»

«fron 'SiFZV T&VTHi Vi^CtyUVOV. TOUTiil S u V?

— cv ■> e* ~v9‘>r^r*\f\

/T\. rr AM irrfArmt 0*r\lf X7771 n* ,+NZD t f**/*n

«XV# X »•*» ”>7 .* y'!™'.«' ' - - ** » — * ¥

p- £'h$» iaa>cmf ?o7 $ '£tto r <zsg/ rlw bp-

etu ? TVrfyfyWQlq . TOVTi&V < P V i <? pt 0 & .

' - - «#«• - /*r* \ _ \ r- ^ *

viTai Ö cs (*?'(, kS . fätTru tsr.Aa. qcf^iotv7tuv*TU, Aß. umet », *?a* «est « «fy; $

HÜ. « ese ßaecne, 4? • ^ «s* J®5r«»saw p.»5 efg ve^rovste r/co f£* Ai .

3 N.Igitur hypotenusa erit 4—4N.Restatv,t huius quadratus ,nempe 16 Q.-+ 16 ~~32 N.sequetur quadratis laterum circa re-ctum, hoc est 16 N./*- &

reliqua sunt manifesta. Etsi omnia,ducamin 32.eritvnque cathetus28 Lasis 96 . Hy-potenusaioo» At secans angulum 35.

H

z. sexti«

'4. sexti.

Ji. pW»ii.5. primi.47 » . primi

IN XV AEST ION EM XVI Ih

ic nulla fere est difficultas. Nam quod ait Diophantus Cathetum ad alterum baseos segmen-tum eandem habete rationem, quam habet hypotenusa ad alterum eiusdem baseos segmentum,

id manifeste infertur ex tertia sexti Euclidis. Sit enimA triangulum rectangulum ABC. & ducatur A D se-cans angulum acutum A bifariam. Quia ergo, vtostendit Euclides loco citato, se habet A B ad A C. vt"JBDadDC. erit & permutando A B ad BD, sicutA C ad CD. Quod est propositum. Itaque sumitDiophantus latera trianguli redfanguli 5. 4.3. & con-3 - zN. D 3 N B stituens illud datum specie , applicat lateribus trian-

guli A D B. fitque ADjN.AB4N.BD3N. Necesse est autem A B statui maiorem quam B D.quia enim est A Bad B D. vt A C ad C D. sed A C maior est quam C D. immo quam tota C B. erit& A B maior quäm B D. Tum vero tota basis C B ponitur quilibet vnitatum numerus qui habeattrientem ad vitandas fractiones , puta 3. Quare fit rejiquum segmentum C D. 3 - 3 N. At hypote-nusa AC 4 — 4 N. cuius quadratum aquando quadratis laterum circa rectum fit 1 N. ~. QuareA Best f}. B Cff. AC secans vero AD &si omnia multiplices per 32. fient 28. 96. 100.35.hoc enim licere constat ex prima tertij porismatum. Quod si loco trianguli 5.4.3. fumas aliudhon simile , aliam reperies solutionem , & in altera proportione inuenies latera triangulorum A C BAD E. vt manifestum est.

Csterüm non docet Diophantus quomodo inueniri postit triangulum rectangulum , vt numerusangulum rectum secantis bifariam fit ration a lis , quia id est imposti bile. Quod sic demonstratur.

Esto triangulum rectangulum A B C. rationale ,& du-catur A D diuidens angulum rectum A bifariam. DicoAD non esse rationalem. Ducatur enim akangulo DKnea D E. perpendicularis ad latus A C haec sane cadetintra triangulum A D C quoniam anguli D AC. DCAsunt acuti. Itaque 1 quoniam est B A ad A C. sicutB D ad D C erunt & componendo B A. A C. simulad A C. sicut tota B C ad D C. sed A B. A C sunt ra-B iy. D 20. C tionales, & tota B C rationalis ex hypothefi, ergo &

quarta proportionalis DC rationalis est. Quoniam vero triangula ABC. DECsuntaequangula,ciim in veroque sit angulus rectus , & angulus C communis , 2 erit B C ad C A. sicut D C ad C E.Quare ciim B C. C A. D C. sint rationales, erit & quarta C E rationalis, ac per consequens & re-: liqua E A. Quia vero ex hypothefi angulus D A E est femirectus, & angulus E rectus , s est & re-liquus A D E femirectus. Quare cum anguli D A E. A DE sint squales, + sunt & squales linesA E. E D. Ac proinde quadratus ipsius A D s duplus est quadrati ipsius A E quare ciim A E ostensasit rationalis , non erit A D rationalis , alioquin dabitur in numeris quadratus quadrati duplus.Quod est impossibile. Vel cüm A D sit diameter quadrati a latere A E, & A E sit rationalis, nonerit AD rationalis per vltimam decimi. Quod erat demonstrandum.

Si libet in numeris rem experiri, ponatur AC 28. AB 21. B C 35. reperietur per regulam triumB D 15. D C 20. & rursus C E16. A E12. Quamobrem & D E erit 12. Quadratus ergo angulumsecantis AD. erit 288. & ipse A D.R 288. z

Quoniam vero pleraque non iniucunda problemata proponi possunt ad inutniendum quotlibettriangulum rationalibus , ita vt vel perpendicularis ä quolibet angulo’in latus oppositum ducta,vel etiam linea diuidens basim vel angulum bifariam , sit rationalis , opere pretium fore duxi, ea hocloca explicare. Equidem aliqua horum iam tentauit vir doctiffimus Christophorus Clauiusad duo-decimam , & ad decimam tertiam fecundi Elementorum , sed praeterquam de sola egit perpendi-culari , in vnica tantum proportione propositum absoluit, nec vllam profert demonstrationem.Nos autem & vniuersaliorem methodum proferemus, & omnia demonstrando persequemur, & nonsplüm de perpendiculari » sed & delinea basim vel angulum secante bifariam nondum‘vulgata pro