31

c

B D F H

TROPO S ITIO SEPTIMA.

In hac progrefiione, productus ex numero terminorum vnitate aucto in quadra-tum maximi j vna cum producto ex minimo in summam omnium , sequatur triploa £g re gan quadratorum a singulis.

? R T X M Hac esi: decima propositio Archimedis de lineis spiralibus, quas

• sic ostenditur. Sint in hac progrestione AB. CIX EF. G H. KL.

• .M N. dico quadratum ex MN. sumptum secundum ymtates nu-K . meri terminorum vnitate aucti, vna cum producto ex AB* m Ium-

. mam omnium aquari triplo summa quadratorum ä singulis. Ete*

. nim adiiciatur ipsi K L. numerus XK. aequalis ipsi AB. ipsi quo -. que G H. addatur T G. aequalis ipsi CD. & ipsi' E F. addatur. RE. eidem E F. aequalis* Ac ipsi C D. addatur Q^C. aqualis. ipsi G H. & demum ipsi A B. addatur P A. aqualis ipsi K L. Tune. patet totos PB. QD. T H. XL. aquales esse ipsi MN. Quia- enim AB. est aqualis differentiae, eo addico ad K L. & ad P A*i fiunt XL. PB. qui singuli aquantur ipsi M N. 1 sed ob medieta-^

. tem arithmeticam summa duorum AB. KL. aqualis est summa duo- * ■

• rum CD. G H. itemque dupluni ipsius E F. igitur constat 8c totosL N Q_D. RF. TH. aquales effe singulos singulis P B. XL. seu ipsi MN.

quamobremsi sumantur quadrati ipsorum PB.QJXRF. TH. XL. MN. & adhuc semeKqua-dratus ipsius M N- fumetur vtique quadratus M N. fecundum vnitates numeri terminorum vnita-te aucti, Ostendendum ergo hos quadratos, vna cum producto ex AB. in summa omnium AB.CD.EF.GH. K L. MN. efficere triplum quadratorum a singulis. Itaque * quadratus ex P B. secundi*aquatur quadratis ex P A. & AB. & plano bis sub P A. AB. contento. Item quadratus ex QJXaquatur quadratis ex Q^C. C D. & plano bis sub QC. CD. contento. Et similiter quadrati reli-quorum aquantur quadratis partium, & plano bis sub partibus contento, at quadrati ex A B. G D.

EF. GH, KL. aquales sunt quadratis ex XK. TG. RE. Q.C. P A. quare si his addas duplumquadrati M N. patet iam haberi duplum quadratorum ä singulis. Restat ergo probandum duplaplanorum sub partibus contentorum. vna cum producto ex A B. in A B. C DJB F. G H. K L. M N.aquari adhuc summa quadratorum ä singulis. Quoniam^ itaque quod fit bis ex X K. in KL. aqua-tur ei quod 6t bis ex AB. itt KL. at quod sit bis ex T G. in G H. aquatur ei quod fit quater ex A B.‘in GH, 5 quia T G. duplus est ipsius AB. similiter quod fiqbis ex R E. in E F. aquatur ei quod

fit fexies ex A B. in E F. quia RE. triplus est ipsius AB. & eadem de causa qua bis sub ali/s parti-bus continentur, aquantur producto ex A B. in alios numeros, fecundum numeros pares conti-nenter ascendendo multiplicatos, omnia vtique plana illa simul sumpta cum producto ex AB.in omnes A B. C D. EF. GH. KL. M N. aquabuntur productis ex A B. in M N. semel, in KL.ter, in G H. quinquies, in EF. septies, & sic per numeros impares ascendendo.His autem productisaquantur quadrati ä singulis per quintam huius , ergo constat propositum.

PROPOSITIO OCTAVA.

In hac progressione productus ex maximo in summam extremorum, aquatusproducto ex minimo in duplum summa omnium.

P I2 Sint in hac progressione A B CDE. & sit summa extremorum F. Qico

, „ productum ex E. inF. aquari producto ex A. in duplam summa om-

^ H 6 urum- etemm cum F, componatur ex duobus A.& E. productus ex Jh. m

i’ * F. aquatur quadrato ipsius E, & producto ex A. in E. at 4 quadratus ex E.

aquatur producto ex A in E. semel, &in antecedentes bis , igitur addito producto ex A. in E. pa- 4. huiuritet productum ex E. i» F. aquari producto ex A. in duplum summa omnium , quod demonstran-dum, erat.

COROLLARIVM*

Hinc sequitur euidenter productum ex minimo in summam omnium aquari producto ex maxi-,mo in semiflem summa extremorum, vel producto ex summa extremorum in semissem maximi*

PROPOSITIO NONA. ,

In hac progrestione productus ex numero terminorum in quadratum summse extre-

0