Cl. Gasparis Bacheti.

OBSERV ATIO D. P. F.

H Ancpropo[itionem ita conflituo magis •vmuersalem. Vnitasprimam columnamin' quacumque polygonorum progrej sio ne conflitmt 3 duo sequentes numerimuiotati primo triangulo toties sumpto quot sunt anguli polygoni quaternario mul-tati ,secundam columnam 3 tres sequentes multati fecundo triangulo toties sumptoqkot sunt anguli polygoni quaternario multati , tertiam columnam , & sic eodemin infinitum progressu*

PROPOSITIO VIGESIMAOCTAVA.

Cubus quilibet adfumpto scxtuplo trianguli collateralis vnitate aucto facit cubumproxime maiorem.

_ Sit cubus A cuius latus D. & ab eodem latere triangulus esto E. cuius Textu-A. 27.0.36. U. 4. pj um H additoque B. vnitate aucto ad A. fiat C. dico C. esse cubum proximeao. z. por. ^ 6 ’ *** 4 * maiorem. Sumatur F. superans vnitate ipsum D. Igitur cubus ex F. 1 aequalis

est cubo ipsius D. & vnitati, & triplo tum quadrati ipsius D. tum ipsius D. At quadratus ipsius D.26. huius, cum Tuo latere “ aequabitur duplo trianguli E. Quare triplum quadrati ex D. cum triplo ipsius D.aequatur scxtuplo ipsius E. hoc est ipsi B. Igitur ad cubum ipsius D. hoc est ad A. addendo B. & vili-tatem , qui fit puta C. est cubus ipsius F. Quod demonstrandum erat,n.i.pori. Aliter interuallum cuborum ab ipsis DF. 3 aequatur cubointerualli, hoc est vnitati, & triploproducti ex D. in F. At ex D. in F. fit duplum trianguli E. per octauam Diophanti, ac proinde tri-plum producti ex D. in F. sequatur Textuplo ipsius E. hoc est ipsi B. Igitur interuallum cuborum abipsis D F. aequatur ipsi B. & vnitati. Quod erat propositum.

PROPOSITIO VIGES IM ANO N A.

In progressione arithmetica, in qua minimus terminus sequatur disserfentise, pro-ductus ex minimo in quadratum numeri terminorum, sequatur producto ex maximoin numerum terminorum.

A n p , P Sint in hac progressione AB C D E. & sit numerus terminorum F. dico2. .4. . . . . .K>. ^oducturn ex A. in quadratum ipsius F. aequari producto ex E. in F.

f. huius. • S - * Qma enim + ex A. in F-fit E. vtique productus ex F. in E. erit solidus

5.1. pori. contentus siib tribus numeris A» E. F. Quare s idem solidus fiet si F. ducatur in E. & productus hocest quadratus ipsius k. ducatur in A. Quod erat demonstrandum.

PROPOSITIO TRIGESIMA.

In hac progressione , productus ex minimo in triangulum numeri terminorum,tequatur summas omnium.

, R _ «r Sint numeri qui prius, & sit Tumma omnium G. dico G. aequati pro-

A.2. B.4. . .L».ö. .io* ducto ex A. in triangulum ipsius F. Etenim ducto F. in summam extre-

F.5.IL. zo. morum, hoc est in ipsos A. E. fit duplum ipsius G. per quartam Dio-

phanti. At productus exF. in E. sequatur producto ex quadrato ipsius F. in A. per prsecedentem, igi-iS. huius, cur duplum ipsius G. aequatur productis ex A. in F. & ex A in quadratum F. hoc est producto ex A inF. auctum Tuo quadrato. Quare e cüm F. cuth Tuo quadrato sic duplus trianguli ex F. erit duplumipsius G. aequale producto ex A. in duplum trianguli ex F. ac proinde ipse G. aequabitur producto exA« in triangulum ipsius F. Quod erat demonstrandum.

PROPOSITIO TRIGESIMAPRIMA.

In hac progressione, productus ex cubo minimi in quadratum trianguli numeriterminorum, aequatur aggregato cuborum a singulis.

A t> r n r> e F Sint in hac progressione A B C D E. & ipsius A. cubus esto F. Tuman-p/ 2 ’ '' 4 ' ‘ ‘ f ’ I0 ‘ turque totidem ab vnitate continue diTpositi numeri GHKLM*

Jl' * K quorum Tumma N. patet ergo N. esse triangulum numeri termino-

.1. .z. .3. .4. . 5 - rum. Quare sit eius quadratus P. dico productum ex F. in P. aequari .

huiut. * 22 ** a gg rc g ato cuborum ä singulis A B C D E. Quia enim sicut 7 A conti*

' netur in B. bis, in C. ter, in D. quater, in E. quinquies, sic etiam G. continetur in H. bis, in K.

ter,