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que signifie la multiplication de — a par—b , c’est qu’on retranche b de I** quan-tité négative—o > oi par Pidée que nousavons donnée ci-dessus des quantitc-s né-gatives , ajouter ou poser une quantité né-gative , c’est en retrancher une positive ;donc par la même raison en retrancherune négative , c’est en ajouter une posi-tive ; &: Fénonciation simple & naturelledu problème doit être, non de multiplier—a par— b , mais + tf par 4-5 ; ce qui donnele produit + a b. II n’est pas possible dansun ouvrage de la nature de celui-ci, dedévelopper davantage cette idée , maiselle est si simple , que je doute qu’onpuisse lui en substituer une plus nette &plus exacte j & je crois pouvoir assurer quesi on l’applique à tous les problèmes quel’cn peut résoudre , & qui renferment desquantités négatives , on ne la trouvera ja-mais en défaut. Quoi qu’il en soit, lesreglesdes opérations algébriques fur les quantitésnégatives , font admises par tout le monde,& reçues généralement comme exactes,quelque idée qu’on attache d’ailleurs àces quantités fur les ordonnées négativesd’une courbe, & leur situation par rap-port aux ordonnées positives. Voye\Courbe.
Nous ajouterons seulement à ce quenous avons dit dans cet article , que dansla solution, d’un problème géométrique ,les quantités négatives ne font pas tou-jours d’un côté opposé aux positives ;mais d’un côté opposé à celui où onles a supposées dans le calcul. Je supposepar exemple, que l’on ait l’équation d’unecourbe entre les rayons partant d’uncentre ou pôle , que j’appelle y , & lesangles correspondants que je nomme { ;
enforte que y par exemple , —ggi^cés,il est évident que lorsque cos. i fera——i,alors si a est > b ,y fera dans une posi-tion directement contraire à celle qu’elleavoir lorsque cos. { = i , cependa .t l’une& l’autre valeur de y seront fous uneforme positive dans l’équation. Mais si aest < b , alors la valeur algébrique de yfera négative , & y devra être prise dumême côté que quand cos. i , c’est-à-dire du côté contraire à celui vers le-
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-n-e! on a supposé qu’elle devoit être prise.11 se présente encore d’autrescas en géo-métrie , où les quantités négatives parais-sent se trouver du côté ou elles ne de-vraient pas être ; mais les principes quenous venons d’étabim , &r ceux que nousavons pôles ou indiqués à Y article EQUA-TION , fusilront pour résoudre ces sortesde difficultés. Nous avons expliqué danscet article én quoi les racines négativesdes équations différaient des racines ima-ginaires ; c’est que les premiers donnentune solution au problème envisagé sousun aspect un peu différent, & qui ne dif-fère point même dans le fond de la ques-tion proposée ; mais les imaginaires nedonnent aucune solution possible au pro-blème de quelque maniéré qu’on l’envi-sage. C’est que les racines négatives , avecde légers changemens à la question , peu-vent devenir positives, au lieu que lesimaginaires ne le peuvent jamais. Je sup-pose , que j’ai bby~:x y — <73, ou enfaisant b—i , y — x 3— a 3 ; lorsque xest < a , y devient négative , & doit êtreprise de l’autre côté ( voye{ Courbe ) ;pourquoi cela ? c’est que si on avoir re-culé Taxe d’une quantité c , ce qui estabsolument arbitraire , en sorte qu’au lieude co-ordonnéesa-, y , on eût eu les co-ordonnées x & { , telles que \ fût—+ c,alors on aurait eu { = c 3 — a 3 , &
en faisant x < a , \ n’auroit plus été né-gative , ou plutôt auroit continué à êtreencore positive pendant un certain temps ;d’où l’on volt que la valeur négative dey -f x 3 — a 3 , appartient aussi-bien à lacourbe que les valeurs positives ; ce quia été développé plus au long au motCourbe. Au contraire, si on avoir y~Y xx — aa, & que x fût a , alors onauroit beau transporter Taxe , la valeurde y resterait imaginaire ; ainsi les racinesnégatives indiquent des solutions réelles ,parce que ces racines deviennent positivespar de légers changemens dans la solutionmais les racines imaginaires indiquent dessolutions impossibles, parce que ces ra-cines ne deviennent jamais ni positives niréelles par ces mêmes changemens. Voy.Equation & Racine.
Quand on a dit plus. haut que le néga-