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reste 8 ; écrivez 8 à la gauche du o avec unpoint au-deílus , pour marquer qu'il en aété emprunté une unité, & qu’il ne doit plusêtre pris que pour 7.

Puis dites , qui de 7 paie 5 , reste 2 ;écrivez z à la gauche du 8.

Enfin dites, qui de z ou ( empruntant )qui de iz paie 8 - reste 4, écrivez 4 à la

gauche du z avec un point au - dessus.

& tout est fait : car ; — ; =0, montre quel’opération est consommée ; ensorte que né-gligeant le o final, le reste 42.8 est le quo-tient cherché.

On voit que cette soustraction est plussimple même que l’ordinaire , qui exigetrois rangs de chifres , tandis que celle - cin’en a que deux : au reste elle porte auffi íapreuve avec elle ; car si l'on ajoute ( en biai-sant un peu ) le dernier chifre du nombreinférieur , le pénultième du supérieur , lepénultième de celui - là avec l'antépénuítie-me de celui - ci, ct ainsi de suite, la sommevous rendra le nombre supérieur même ,s'il ne s'est point glissé d’erreur dans l'opé-ration.

11. Ea raison de cette pratique deviendrasensible, si l'on fait attention que tout mul-tiple de g peut lui-même être conçu com-me le résultat d'une soustraction. En esset,

428 X p =428 X iq — 1 —4280—428 ,ce qu'on peut disposer ainsi : 4280 ... s

— . .418 ... OT

, 3 S ; z • • • j

nommant s le nombre supérieur , m celuidu milieu, j l'inférieur. Il suit de la dis-position des chifres que le dernier de m estle même que le pénultième de s , le pénul-tième de ot le même que l'antépénultiemede s , &cc.

Maintenant le nombre j étant propofé àdiviser par g , il est clair ( construction )que le quotient cherché est le nombre m ,mais ( encore par construction ) j ~=s—m ;d'où m —^—j , ôc voilà la soustractionqu'il est question de faire j mais comment yprocéder , puiíque s , élément nécessaire ,n’est point connu ?

Au moins en connoît-on le dernier chi-fre , qui est toujours o : on peut donc com-mencer la soustraction. Cette premíere opé-

N E U 9 r 7

î ration donnera le dernier chifre de ot =

I ( juprà. ) au pénultième de s ; celui-ci feratrouver le pénultiemme de m — à l'antépé-nultieme de s , ôc ainsi de l'un en l'autre »le chifre dernier trouvé de m étant celuidont on a besoin dans s pour continuerl'opération.

Dans l’addition qui sert de preuve à laréglé , c'est le nombre j qu'on ajoute aunombre m, ce qui évidemment doit donnerle nombre § ; car puisque j~s — m , il suitque j

1 z. Observez ( derniere figure ) que dansla soustraction employée pour multiplier428 par g , il se fait deux emprunts, l'un surle 8 , l’autre sur le 4, ct que d'un autre côtéla somme des chifres du multiple 3852 est18, ou A pris deux fois , ce qui n'est pointun hasard , mais l’esset d'une loi générale.La somme des chiffres du multiple contientg autant de fois qu il y a eu d’emprunts dansla soustraction qui a servi à le former. O11en verra plus bas la raiíon.

13. Il fuit'que si la soustraction s’exécu-toit fans faire d’emprunt, la íbmme deschiffres du multiple seroit — o , conséquen-ce révoltante par l'imagination , mais qui,entendue comme il faut, malgré la contra-diction qu'elle íèmble renfermer, ne laissepas d’être exactement vraie.

Pour s'en convaincre, que dans le mêmeexemple aux chifres on substitue des lettres,,ou simplement que laissant subsister les chif-fres , on procede à la soustraction par lsméthode algébrique , on aura

4280— ... 4 2 8

4. 2—4. 8 -2.—8.

Le résultat qui représente le multiple con-tient quatre termes, distingués entr’eux pardes points , nommant ( relativement aurang ) pairs les íecond & quatrième, ôcimpairs les premier ôc troisième ; si l’onfait séparément la somme des termes pairsôc celle des impairs , la premiere fera• 2 — 4. -- 8 , ctlaíeconde -f- 4. + 8— 2 ;

où l'on voit que les mêmes chifres sontcontenus dans l'une ct dans l'autre somme,mais avec des signes contraires ; ensorteque si l’on vient à ajouter les deux sommes