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findet, nur gerade Potenzen Vorkommen, und überdies® nochvoraussetzen, dass auch die rationale Function F($) nur geradePotenzen enthält. Setzt man nämlich

p _ M + N® _ (M + Na;)(P - (Ja;)

W ~ P + Qa; ~ P 2 - Q 2 a; 2

= F t (x 2 ) + xF 2 (x 2 ) ,

wo M, N, P, Q gerade Polynome und Fj , F 2 r ' e Functionenbezeichnen, so ergibt sich:

y p/ dx t' dx . / Fi (x 2 )x dx

-g =jF,m - R - +J — g —.

Hier aber erhält man das zweite Integral unmittelbar durch dieSubstitution x 2 — y, es bleibt also nur das erste Integral

J *™-1

zu untersuchen, in welchem R die Quadratwurzel aus einem ge-raden Polynom mit reellen Coeflicienten repräsentirt:

R = ^ A(1 + maj 2 ) (1 + m'a; 2 ) .

166. Wir werden jetzt diese Wurzelgrösse auf die Form>/( I — (1 _ k 2 A 2 )

reduciren, welche den elliptischen Functionen eigenthümlich ist,und zwar so einrichten, dass der Modul k reell und kleiner alsEins ist. Es bedarf hierzu nur der Transformation des Ausdrucks

^ in einen andern von der Form

_ dl_ _

gV(l— A*)(l — k 2 2 2 ) '

Je qachdem die drei Coefficienten A, m, m' positiv, oder negativsind, sind hierbei mehrere Fälle zu unterscheiden.

Fallt. A-a 2 , m = —h 2 , m'=—h' 2 , h > h'.

Man setze

ha; — A ,