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Capitel 2.

Vervielfachung.

Successive Berechnung von A(«z).

1S9. Wir haben in Nr. 168 die wichtige Relation hergeleitet,vermittelst deren l(z + t) als Function von A(s) und A(l) ausge-drückt wird , nämlich:

A(z-M)

A(s') l\l) + k(t) l\z)

"T ''kU*(i)T*(0

w o X! — yj( 1—A*)(l—k 2 A 2 ) ist. Mil Hilfe dieser beiden Formelnlassen sich a‘ A(2z), A(3z). ... der Reihe nach berechnen;

wir linden;

1(2z) ■=

2A(z) X'(z)

1 —kU«(») ’

l‘(2z) =>/[!— A 2 (2z)] [1 - k 2 A 2 (2z)]

[1 — 2A 2 (z) + kU 4 (z)] [1 — 2kU l (») + k 2 A 4 (z)]~ [I — k 2 A*(a )] 2

A(s)A'(2z)+A(2 s )A'(z)

( I — kU 2 (z)A 2 (2z)

_ 3 — 4(1 -f k 2 )A 2 (z) + 6k 2 Ä 4 (z) — k 4 A 8 (z)

~ 1{Z) 1 — 6kV, 4 (*)+"4k*(l + P) ;£•(*)-3k 4 A 8 (a) '*

_ 2l(2z)mz)

14 } 1 — k 2 A 4 (2z)

4AA'[1 —2(l+k 2 )A 2 + 5k’Ä 4 —5k 4 A 8 +2k 4 (l+k 2 )2 10 —k 6 A‘ 2 ]~ Ti — 20k 2 A 4 + 32k*(l + k 2 )A 6 — k 2 [ 16(1 + k 2 ) 2 + 26k !

| +32k 4 (l+k 2 )A 10 —2t)W 2 +k 8 A" i ! J

u. s. w.

Es ist ohne Mühe zu ersehen, dass sich der Ausdruck fürX(nz), falls n ungerade isl, als ein rationaler Bruch in Bezugauf die Grösse A 2 (z) darstelll, mit welchem noch der Factor A(z)verbunden ist, und falls andererseits n gerade ist, als ein Bruch