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Rädchen gezählt und geben immer die Länge je einerMittellinie der koncentrischen Ringstreifen; dieSumme dieser Längen gibt alsdann den Flächeninhaltder Figur an; damit die Oeffnung des Zirkels fürjede einzelne Lage desselben festbleibe, so ist zwischenseinen Schenkeln ein gezahnter Bogen angebracht,in welchen ein Sperrkegel eingreift. Westfeld be-schreibt seinen Apparat in einem Schriftchen, be-titelt: „Der Ringmesser, Göttingen bei Dietrich,1826“, er gibt die damit erreichbare Genauigkeitdesselben auf 1:300 an.

Der Ringmesser ist mangelhaft in mehreren Be-ziehungen: Ist der Zirkel weit geöffnet, so wickeltdie kleine Rolle nicht mehr ihren äussersten, sondernda sie einen etwas abgerundeten Rand hat, einenkleineren Umfang ab; ferner ist es schwer, diese Rollegenau über den Anfang und das Ende der Mittel-linie eines koncentrischen Streifens zu bringen, wasdoch verlangt werden muss, endlich wird der Gradvon Genauigkeit bei sehr unregelmässig begrenztenFiguren wohl ein noch geringerer, als der durchWestfeld selbst angegebene von 1:300 sein,zudemist es überhaupt verwerflich, den Flächeninhalteines koncentrischen Ringstreifens gleich dem einesRechteckes zu setzen, dessen Basis die Mittellinie desStreifens und dessen Höhe die Breite desselben ist.

Endlich hat Gauss vor mehr als 70 Jahren(1790) einen sehr gediegenen Vorschlag für dieFlächeninhalts-Bestimmung ebener Figuren gema chter ertheilte den Rath, die Flächen nicht mehr durchZerlegung in Dreiecke zu berechnen, sondern aus Ab-szissen und Ordinaten, deren Messung mittelst zweiersenkrecht zu einander stehender und aneinander ver-schiebbarer, getheilter Lineale zu geschehen habe.Leider ist die Benutzung dieses Vorschlages an denSchwierigkeiten der Ausführung gescheitert; derwissenschaftliche Werth desselben gebietet uns aber,hier etwas darauf einzugehen.

Des leichteren Verständnisses halber wählen wireine geradlinig begrenzte Figur; neben dieser zie-hen wir in beliebiger Richtung eine Abszissenaxeund fällen darauf von jedem Eckpunkte eine Ordi-nate, welche wir uns aufwärts durch die Figur hin-durch verlängert denken, so ist dadurch die Abszissen-linie in (n —1) Theile zerlegt, wenn die Figur n Sei-ten hat, und es ist klar, dass jeder dieser Theile der

Abszissenlinie mit zwei Ordinaten und einer Seiteder Figur oder mit einem Stücke einer Seite einTrapez bildet — kurz die ganze Figur (bis an dieAbszissenaxe gerechnet) ist in lauter Trapeze zerlegt,die theils positiv, theils negativ zu nehmen sind.

Es ist leicht einzusehen, dass die algebraischeSumme der Trapeze , welche die Seiten mit den aüsihren Endpunkten gefällten Ordinaten und den da-zwischen liegenden Stücken der Abszissenlinie bilden,den Flächeninhalt der Figur auf sehr einfache Weisedarstellt. Was die Vorzeichen betrifft, unter denenoffenbar ein enger Zusammenhang stattfindet, so lassensich dieselben auf folgende Weise erklären.

Wir können den Umfang einer Figur auf zweier-lei Weise umgehen: einmal, indem wir die Figur selbstimmer zur Rechten, dann auch, indem wir sie immerzur Linken haben. Geht man steigend vom Endpunkteeiner der beiden äussersten Ordinaten vorwärts, sounterscheiden sich die Seiten ganz einfach durch -j-und —, je nachdem sie vorwärts oder rückwärtslaufen, d. h. je nachdem sie von der ersten Ordinateweiter ab zu den folgenden oder wieder zurückführen.

Bezeichnet man demnach die von einem beliebiggenommenen Punkte abgemessenen Abszissen derEckpunkte 0, ], 2. . . der Figur mit x 0 , x 1} cc 2 . . .und die zugehörigen Ordinaten mit y a , y ± , y 2 . . ., sogelangt man mittelst einfacher Betrachtungen z. B.für n == 7 zur Formel:

F = \ j* 0 ^ ~+ “h O»— y *)+Oi —y*) -b+ (y* — y») +—+*g Os — y 7 ) -b *7 0 6 —*/»)}•

Diese höchst einfache Formel (in welcher manauch die Koordinaten xy mit einander verwechselnkönnte) würde in Worten lauten: Man multiplizirejede Abszisse mit der Differenz aus der nächst vor-hergehenden und nächstfolgenden Ordinate und nehmevon der algebraischen Summe dieser Produkte dieHälfte. Es ist klar, dass diese Formel allgemein gilt,die Anzahl der Punkte möge noch so gross sein. Hatdie Figur auch krummlinige Grenzen, so findet mandas Resultat desto genauer, je mehr Punkte man an-nimmt. Findet man es bequemer, die Abszissenliniedurch die Figur gehen zu lassen, so kann dies dieGestalt der Formel nicht ändern, weil diese Verlegungder Abszissenlinie erstlich die Abszissendifferenzen