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Umfährt man den Umfang einer beliebig be-grenzten ebenen Fläche mit dem Stifte P und er-mittelt man die Länge M des von der Spitze Q durch-laufenen Bogens, so ist, wenn G die Instruments-Konstante bedeutet, die wir im §. 4 bereits kennen ge-lernt haben, die gesuchte Fläche J'ydx ausgedrücktdurch:
M C = fy d x.
Ist cp (cc) irgend eine gegebene Funktion, sokann man das Verlangen stellen, es solle der Werthvon <p (cc) für ein bestimmtes x durch einen BogenM ausgedrückt werden, den Q durchläuft, währendsich das Lineal um die Länge x verschiebt und nunmuss man sich fragen, welche Kurve wird P durch-laufen müssen ?
Aus der vorigen Gleichung folgt:
und da M = cp (cc) sein soll, so ergibt sich:
Sy d-.
C
= ? ( x )>
woraus man durch Differenziren und Abkürzen mitd x erhält:
y = C. cp' (x),
wobei cp' (x) den ersten Differential-Quotienten voncp (cc) bedeutet.
Da y die Ordinate der von P zu durchfahren-den Kurve vorstellt, so ist y = C. cp' (cc) die Glei-chung jener graphisch darzustellenden Linie, die Pbehufs Bestimmung des Werthes cp (cc) durchlaufenmuss.
Hätte man z. B. mittels des Planimeters V~ xzu bestimmen 1S ), so wäre cp (cc) = V~x > <p' (#) =
1 C
= 2F^’ daher y = oder * y% = i c,8die
Gleichung der von P zu durcheilenden Kurve.
Man könnte in anderer Weise auch verlangen,es solle das Lineal XX' sich um V' x verschieben,während der Stift Q sich um M ==-• x bewegt. Indiesem Falle wird der Bogen M das Quadrat der
von P zurückgelegten Abszisse, daher muss manM — cc 2 setzen, folglich wird cp' (cc) • = 2 cc und manerhält:
y = 2 C . cc.
Zieht man sonach durch den der Stellung des In-strumentes entsprechenden Koordinaten-Anfang eineder Gleichung y — 2 C. cc genügende gerade Linieund durchfährt man diese mit dem Stifte P, so istdas cc, welches zu irgend einem Werthe des von Qdurchlaufenen Bogens gehört, die Quadratwurzelaus dem Bogen.
In ähnlicher Weise kann man sich zum Aus-ziehen der Wurzeln höherer Grade zwei Gleichun-gen für den Lauf von P bestimmen. Bei der einenGleichung wird der Bogen M die Wurzel aus derAbszisse, bei der andern Gleichung die Abszisse dieWurzel aus dem Bogen M angeben.
Damit man die Grösse der Bewegung des LinealsX X' wodurch eben cc angegeben wird, bestimmenkann, wird entweder das Lineal in geeigneter Weisemit einem Massstabe versehen, oder man kann auchmit dem Lineale X X' ein Rädchen von getheiltemUmfange derart in Verbindung setzen, dass man mitHülfe eines festen Indexstriches die Länge der Ver-schiebung des Lineals XX' abzulesen vermag.
Ist cp (cc) eine beliebige Funktion, so muss demZeiger Q eine bestimmte Stellung auf der Axe A hgegeben werden, wie aus Folgendem einzusehen ist.Wäre z. B, einmal cp (cc) = \A jf, das anderemalcp (cc) = 8 -j— V~x, und besitzt der Stift P auf derKurve y = C .cp' (cc) die Stellung x = o, so soll Qauf der Kreistheilung einmal den Werth Vo=o, dasanderemal den Werth 8 -j-F^o = 8 angeben, folg-lich muss für jene Stellung von P, bei welcher cc — oist, der Zeiger Q für Bestimmungen von cp (cc) = F^ccauf Null, für Bestimmungen von 8 -j- P”" cc auf 8 ge-stellt werden.
Um daher in einem allgemeinen Falle die rich-tige Stellung des Zeigers Q auf seiner Axe zu finden,ermittle man den Werth cp (a) der Funktion cp (cc) fürden Werth cc — a, stelle den Stift P auf der Kurvey = 2 C. cp' (cc) auf jenen Punkt, für welchen cc = awird und nun muss Q jene Stelle auf der Kreistheilungeinnehmen, welche den Werth cp ( a ) bezeichnet.
Sind beispielsweise die Logarithmen der ver-schiedenen Zahlen zu berechnen, so kann man nicht