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den Bogen M — log x setzen, weil für x = o,log o — — oo wird. Man wähle daher eine andereForm der Funktion, etwa M = log (x -j- 1), so ist<p (x) = log (x -j- 1). Für x = o, wird cp (o) = log1 = Null, mithin muss, wenn P auf der Kurve y == 2 C. cp' ( x ) dem Werthe x — o angehört, Q eben-falls auf den Werth Q = o gestellt werden.

Aus cp (x) = log (x -)- 1) folgt cp' (x) = ^°°

loo" ß

mithin wird ?/ = 2 <7. —— oder x y = 2 C . log e,

welche Gleichung jener Linie angehört, die derPunkt P durchlaufen muss, damit der Zeiger Q zujedem * den Werth log (ae —(— 1) angibt. Da x und yaufeinander senkrecht stehen, so sind die Koordinaten-axen in diesem Falle die Asymptoten einer gleichsei-tigen Hyperbel; P durchzieht demnach eine gleich-seitige Hyperbel xy = 2 (7. log e, während Q zu jedemx, wenn der Zeiger auf die vorher angegebene Artauf seiner Axe festgestellt wurde, log (x -f- 1) angibt.

Es bedarf wohl kaum einer besonderen Erwäh-. nung, dass, bevor der Stift P die Kurve y = 2C.cp‘ (x)durchfährt, diese Kurve eine solche Lage erhaltenmuss, dass die Koordinatenaxen diejenige Stellungerhalten, wie sie bei Erörterung der Grundbedingun-gen des Planimeters angegeben wurde.

Um endlich noch die Aufgabe zu lösen, das Pro-dukt zweier willkürlich gewählten Zahlen x und ymittelst des Planimeters zu finden, muss man sowohldie Verschiebungen der Spitze P in der Richtung derXX ' als auch der YY‘ am Instrumente messen kön-nen. Ist dies möglich, dann stelle man, wenn P einesolche Stellung einnimmt, bei welcher x~o und y = oist, den Zeiger Q auch auf o. Verschiebt man in die-sem Falle P so, dass zuerst das Lineal XX' in Ruhebleibt und P den Weg y zurücklegt und lässt dannbei ruhendem YY‘ den Stift P den Weg x zurück-legen, so hat P den Flächenraum eines Rechteckesvon den Seiten x und y bestimmt; man kann somitan der Spitze Q das Produkt xy ablesen, und bedarfhier keiner graphischen Konstruktionen.

Es ist selbstverständlich, dass die am Instrumenteerhaltenen Zahlen nicht absolut genau sein können,da die graphischen Konstruktionen und die unver-meidlich enU nvollkommenhei ten im Baue der Maschinedies bedingen.

§. 7. Eine zweite Art Planimeter von Gonnella.

In derselben Ausgabe, in welcher Prof. Gon-nella sich mit allen erforderlichen Eigenschaftendes von ihm erfundenen Planimeters beschäftigt, be-fasst er sich noch mit einer andern Gestaltung derInstrumentstheile, wodurch ein zweiter Planimeterentsteht, welcher allen schon früher aufgestelltenGrundbedingungen genügt.

Hier nur in Kürze, worin das Wesen dieses In-strumentes besteht.

Man denke sich in Fig. 14 wieder die Lineale Y Y'und XX' in der selben W eise mit einander verbunden undgegen einander beweglich, wie wir es bereits kennengelernt haben. Ueber dem Lineale XX 1 , welches mitYY‘ gleichzeitig horizontal liegt, befindet sich eineRotationsfläche ab cd, deren Axe Ri? ebenfalls hori-zontal liegt. Diese Rotationsfläche steht immer mitdem Lineale X X‘ in einer solchen Berührung, dassvermöge der zwischen X X‘ und der Fläche stattfin-denden Reibung das Lineal X X! die Rotationsflächeumdreht, sobald X X‘ in seiner eigenen Richtungverschoben wird. Damit aber XX' und die Fläche inBerührung bleiben, wenn das Lineal X X‘ in derRichtung Y Y‘ verschoben wird, muss entweder dieAxe B i? fest sein und dem Lineale X X‘ eine verti-kale Bewegung gegeben werden können, bei welch’letzterer der Stift P sich verlängern oder verkürzenmüsste, um damit die Zeichnung umfahren zu können,oder es müsste, was zweckmässiger ist, die Axe B Rdurch zwei feste Vertikalführungen in zwei PunktenB und R sich heben und senken können, ohne inhorizontaler Richtung verschoben zu werden, wobeiX X' stets in derselben horizontalen Ebene sichbewegt.

Wird mit der Axe B R ein Zeiger H Q ange-bracht, den man wieder über einer Kreistheilungspielen lässt, so sieht man ein, dass die Spitze Q sichnicht bewegen kann, wenn mit P eine beliebige zuY Y' parallele Gerade durchfahren wird. Damit aberdie Spitze Q mit y proportionale Bögen durchlaufe,während Pin den Abständen y von der Abszissenaxedie Rechtecksseiten von konstanter Länge A x durch-läuft (wie z. B. Fig. 10 zeigt), muss der Meridian derRotationsfläche ab cd eine bestimmte Gestalt haben.

Denken wir uns auf der horizontalen Ebene, inwelcher die zu quadrirende Figur liegt, den festen