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1) Wenn die Punkte m und n von dem Mittelpunkte K des gegebenen Krei-ses gleieh weit abstelien, so wird mn =}= pq. Wie werden alsdann die bei-den gesuchten Kreise beschrieben?

2) Auflösung der Aufgabe, wenn die Punkte m und n innerhalb des gegebe-nen Kreises liegen.

3j Auflösung der Aufgabe, wenn der eine Punkt m oder n im Umfangedes gegebenen Kreises liegt.

4) Für welche Lage der Punkte m und n ist die Auflösung der Aufgabeunmöglich ?

Das Berührungsproblem liefert elegante Auflösungen für viele geometrischeAufgaben, deren Behandlung sonst ziemlich weitläufig ist. Z. B. kann man mitHülfe des Berührungsproblems die Aufgabe lösen, ein Dreieck zu construiren ausder Grundlinie, der Summe der beiden anliegenden Seiten und der Höhe.

Analysis. Angenommen, ABC sei das gefundene Dreieck, man habe in Bauf die gegebene Grundlinie AB ein Loth BH errichtet nach der Seite, wo Cliegt, und dasselbe gleich der gegebenen doppelten Höhe des Dreiecks gemacht:so ist klar, dass CB = CH ist, d. h. dass ein aus C mit der Seite CB beschrie-bener Kreis durch H geht. Beschreibe ich ferner aus A einen Kreis mit der ge-gebenen Summe s der anliegenden Seiten, d. h. mit CA -f- CB, so wird ACüber C hinaus verlängert den Umfang in G treffen, so dass CA -f- CG =CA -f- CB wird. Ein aus C mit dem Halbmesser CB beschriebener Kreis wirdalso durch die Punkte B und H gehen, wo BH _!_ BA und BH = 2h ist, undden Kreis um A, beschrieben mit dem Halbmesser CA -f- CB = s, inG berüh-ren. Es liegen nämlich die Mittelpunkte der beiden Kreise um A und C mit demPunkte G, den beide gemein haben, in gerader Linie. Der gesuchte Kreis um Cmuss also die Eigenschaft haben, durch die Punkte B und H zu gehen und denKreis um A mit dem Halbmesser s zu berühren.

Construction. Man beschreibe aus A mit dem Halbmesser s einen Kreis,errichte in B ein Loth BH J_AB, mache BH = 2h (h ist die gegebene Höhe),so findet man die Punkte B und H. Es handelt sich jetzt darum, einen Kreis zubeschreiben, der durch die gegebenen Punkte B und II geht und den gegebenenKreis um A mit dem Halbmesser s berührt. Es sind zwei Auflösungen möglich,indem zwei Berührungspunkte G und G 1 gefunden werden. Man verbinde nun