29

z. B. G mit A, so ist AG ein Ort für den Mittelpunkt des gesuchten Kreises,desgleichen die gerade Linie KR, welche ich in K senkrecht auf BH, wo I£die Mitte von BH ist, nämlich KB = KH, errichtet habe. Der Durchschnittspunktder Linien AG oder AG 1 und KR giebt den Punkt C oder C 1 als dritten Punktdes gesuchten Dreiecks.

Es ist leicht zu beweisen, dass das Dreieck ABC oder ABC 1 die Bedingun-gungen der Aufgabe erfüllt.

Vergleichen wir die beiden Figuren (19) und (18), so finden wir, dass wasin (18) die beiden Punkte m und n sind, in (19) die Punkte B und H sind. DerKreis K in (18) wird in (19) vorgestellt durch den Kreis, beschrieben aus A mitdem Halbmesser s = CA + CB. Während in (18) die beiden gegebenenPunkte ausserhalb des gegebenen Kreises liegen, befinden sie sich in (19)innerhalb des gegebenen Kreises. Was in (18) die Linie mn ist, wird in (19)dargestellt durch die Linie BH. In (19) liegt der Hülfskreis, welcher in (18) mitH bezeichnet und punktirt worden ist, nach rechts von IIB, er schneidet den ge-gebenen Kreis in den Punkten N und 0, in (18) dagegen in den Punkten p und q.Was in (18) der Punkt 0 ist, ist in (19) der Punkt P, die von ihm aus gezoge-nen Tangenten heissen in (19) PG und PG 1 , in (18) Ot. Die Punkte G und G 1in (19) sind also gleichbedeutend mit den beiden Punkten t. Der Kreis (1) in(18) wird in (19) dargestellt durch den Kreis, dessen Mittelpunkt C und RadiusCG — CB ist. Der Kreis (2) in (18) wird in (19) dargestellt durch den Kreis,dessen Mittelpunkt C 1 und Radius C’G 1 ist. Die beiden gefundenen Kreise be-rühren hier den gegebenen von innen.

Vergl. über diese Aufgabe das Programm der Realschule zu Colberg vomJahre 1852.

Auf ähnliche Weise kann man die Aufgabe lösen: Ein Dreieck zu construi-ren aus folgenden drei Stücken: 1) der Grundlinie, 2) der Differenz der beidenanliegenden Seiten, 3) der Höhe.

Man beschreibt nämlich aus dem einen Endpunkte A der Grundlinie einenKreis mit der gegebenen Differenz, errichtet in dem anderen Endpunkte B einLoth, welches man gleich der doppelten Höhe macht, BH = 2h. Man sucht dar-auf einen Kreis, welcher durch die beiden Punkte B und H geht und den gege-benen Kreis berührt. Man findet nach der Aufgabe 3 zwei Kreise, welche dieverlangten Bedingungen erfüllen. Der eine Kreis (1) berührt den gegebenenKreis von aussen in G, der andere von innen in G 1 . Die Spitze des gesuchtenDreiecks liegt in dem einen Falle im Durchschnitt von AG und KR, im andernFalle von AG 1 und KR, wo KR so gezogen ist, wie es die Auflösung der vori-gen Aufgabe angiebt.

Auf Aufgabe 3 kann man auch die Aufgabe zurückführen: Ein Dreieck zueonstruiren, von welchem die Grundlinie, ein anliegender Winkel und die Summeder beiden anderen Seiten gegeben sind: der eine gegebene Punkt liegt alsdannim Umfange des gegebenen Kreises, dessen Radius die gegebene Summe ist.