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1. Man logt durch drei Punkte A, B und C einen Kreis. Man findet denMittelpunkt davon F. Alsdann errichte man in F ein Loth auf die Ebene ABC.Wir wollen dieses Loth FK nennen. Durch FK und durch den Punkt D legeman eine Ebene, welche die Ebene ABC in der geraden Linie GH schneidet,welche ein Durchmesser des Kreises ABC wird. FK J_ GIL Durch die dreiPunkte G, H und D lege man einen Kreis, in dessen Ebene auch FK liegt, jasogar, da es in der Mitte F der Sehne GH darauf senkrecht steht, verlängert einDurchmesser davon wird. Man denke sich jetzt den Kreis GDH um seinen Durch-messer IK gedreht, bis dass er wieder in seine ursprüngliche Lage zurüekgekom-men ist, so wird er die Oberfläche einer Kugel beschrieben haben, deren Durch-messer IK und deren Mittelpunkt 0 (der Mittelpunkt des Kreises GDH) ist. Beidieser Umdrehung bleibt GH stets senkrecht auf IK und beschreibt um F einenKreis, mit dem Radius FG, dessen Ebene senkrecht auf FK steht, also mit derEbene ABC zusamrnenfällt. In dem Umfange des Kreises, welchen FG hei die-ser Drehung beschreibt, müssen aber auch die Punkte A, B und C liegen, indemsie sich in seiner Ebene befinden und FA = FB = FC = FG. Die Punkte A,B, C und D liegen also auf der Oberfläche einer Kugel, deren Mittelpunkt 0 undRadius OG = OA = OB = OC = OD ist.

Es ist nur Eine Auflösung möglich. In der obigen Figur zeigt IGDKH einenhorizontalen Schnitt und GABHC einen verticalen Schnitt der gefunde-nen Kugel.

2. Man hätte auch nach der Construction des Kreises ABC, nachdem manferner in F ein Loth FK auf die Ebene ABC errichtet und den Durchschnitt GHder Ebenen FKD und ABC gefunden hatte, auf folgende Weise fortfahren kön-nen. Man nehme die Ebene DGFHK, errichte in derselben auf GD in ihrer Mitteein Loth, so muss dieses Loth die Linie FK schneiden, der gefundene Durch-schnittspunkt heisse 0, es ist der Mittelpunkt der gesuchten Kugel, deren RadiusOG = OD ist. Denn da FK, worin 0 liegt, senkrecht steht auf der Ebene ABC,da ferner FA = FB = FC = FG ist, so muss OG = OA = OB = OC sein,d. h. A, B, C und D sind Punkte auf der Oberfläche der gefundenen Kugel.

Man kann diese Aufgabe auch noch anders läsen. Man lege durch A, Bund C einen Kreis, dessen Mittelpunkt F ist. Man findet F, indem man AB hal-birt in L und in L ein Loth LF auf AB in der Ebene ABC errichtet u. s. w.Man suche ferner den Mittelpunkt M des Kreises durch A, B und D, indem manin L auf AB in der Ebene ABD ein Loth LM errichtet u. s. w. Man erhält aufdiese Weise die Ebene FLM, welche auf AB senkrecht steht. FLM ist der Nei-gungswinkel der Ebenen ABC und ABD. Man errichte dann in F ein Loth FKauf die Ebene ABC, so wird dasselbe fallen in die auf ABC lothrechte EbeneFLM. Man errichte ferner in M ein Loth MP auf die Ebene ABD, so wirddasselbe fallen in die auf ABD lothrechte Ebene FLM. Die Lothe FK und MPfallen also in dieselbe Ebene FLM, stehen senkrecht auf den Schenkeln einesWinkels FLM, schneiden sich daher in 0. 0 ist daher der Mittelpunkt der ge-suchten Kugel, 0A = 0B = 0C und OA = 01) sind die Radien.

Ist der Winkel FLM = 0, d. h. liegen A, B, C und D in derselben Ebene,so werden FK und MP parallel, d. h. 0 liegt im Unendlichen oder der Radiusder gesuchten Kugel ist unendlich gross. Liegen aber ausserdem A, B, Cund D im Umfange desselben Kreises, so giebt es unzählig viel Kugeln, welchedie geforderten Bedingungen erfüllen. Der geometrische Ort für ihre Mittel-punkte ist ein Loth, das man im Mittelpunkte des Kreises AB CD auf die Ebenedesselben errichtet. Eine Kugel, deren Mittelpunkt nämlich in der Ebene ABCDselbst liegt und mit dem Mittelpunkte des Kreises ABCD zusammenfällt, ist einMinimum von allen Kugeln, welche sich durch die Punkte A, B, C und Dlegen lassen.

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