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Liegen drei Punkte in derselben geraden Linie, so wird die Oberflächeder gesuchten Kugel eine Ebene, welche bestimmt ist durch die gerade Linie undden vierten Punkt.

Wie ist es, wenn alle vier Punkte in derselben geraden Linie liegen?

Man kann sich auch die Auflösung dieser Aufgabe noch anders vorstellen.Man suche den geometrischen Ort für die Mittelpunkte der Kugeln, in deren Ober-fläche zwei gegebene Punkte A und B liegen. Man findet denselben, indem mandie Punkte A und B verbindet, die Linie AB halbirt und im Halbirungspunkte eineEbene lothrecht darauf errichtet. Jeder Punkt dieser Ebene, welche wir durch®i bezeichnen wollen, kann als Mittelpunkt der gesuchten Kugel angesehen wer-den. Darauf suche man den geometrischen Ort der Kugeln, auf deren Oberflächedie Punkte B und C liegen. Es sei dies die Ebene @2 senkrecht auf B 0 in derMitte davon. Der Durchschnitt der Ebenen @1 und <£2, also die gerade Linie (@1,@2), ist also der geometrische Ort für die Mittelpunkte aller Kugeln, auf derenOberfläche die Punkte A, B und C liegen. Darauf suche man den geometrischenOrt der Kugeln, auf deren Oberfläche die Punkte C und D liegen. Es sei diesdie Ebene @3 senkrecht auf CD in der Mitte davon. Der Durchschnitt der Ebene(£3, mit der geraden Linie (Qn, ffia), liefert uns den Mittelpunkt der gesuchten Ku-gel, auf deren Oberfläche die Punkte A, B, C und D liegen. Wenn diese vierPunkte in derselben Ebene liegen, so wird im Allgemeinen die Linie (<£1, @2)parallel werden mit der Ebene @3; beide werden senkrecht stehen auf der EbeneABCD. Wenn ausserdem noch die Punkte A, B, C und D in den Umfang einesKreises fallen, dessen Mittelpunkt wir 0 nennen wollen, so werden alle drei Ebe-nen sich in derselben geraden Linie schneiden, die in 0 senkrecht steht auf derEbene ABCD.

Aufgabe 2.

Eine Kugel zu beschreiben, welche durch drei gegebene Punkte geht undeine gegebene Ebene berührt.

Man beschreibe einen Kreis, welcher durch die drei Punkte A, B und C geht,so erhält man damit einen Durchschnitt (einen kleinen Kreis) der gesuchtenKugel. Der Mittelpunkt des gefundenen Kreises heisse F. Errichtet man daher inF ein Loth FO auf die Ebene ABC, so muss dasselbe durch den Mittelpunkt dergesuchten Kugel hindurchgehen. Man fälle ferner von F auf die gegebene Ebene@ ein Loth FG, F G J_ @. Auf diese Weise erhält man eine Ebene 0 F G (inunserer Zeichnung die Ebene des Papiers), welche zugleich senkrecht steht aufEbene ABC und auf Ebene ®. Der Durchschnitt der Ebenen OFG und ABC