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heisse HI, so wird HI ein Durchmesser des Kreises ABC. Da F0 I ABCsteht, so ist auch FO J_ III. Der Durchschnitt der Ebenen OFG und © heisseGD, so ist auch FG _[_ GD. Wir haben nun eine Ebene HFIOGD. In dieserEbene beschreiben wir einen Kreis, welcher durch die Punkte H und I geht unddie gerade Linie GD berührt nach I. 2, Seite 26. Es giebt zwei Auflösungen, vondenen jede auch eine andere Auflösung unserer Aufgabe herbeiführt. Wir wollendiejenige Auflösung wählen, wo der gefundene Kreis durch H und I die Linie GDin D berührt. Der Mittelpunkt 0 dieses Kreises ist nun auch der Mittelpunkt dergesuchten Kugel, deren Radius OD = OH = Ol ist, wo aber auch OH == OAOB = OC ist. Es bleibt noch übrig zu beweisen, dass die gefundene Kugel diegegebene Ebene in D berührt. Nach der Construction ist Ebene OFG senkrechtauf Ebene @, ihr gemeinschaftlicher Durchschnitt ist GD, worauf der Radius OD,welcher in der Ebene OFG liegt, senkrecht steht. OD steht also auch senkrechtauf Ebene ®, daher berührt die gefundene Kugel die gegebene Ebene © in D.

Man hätte die Erzeugung dieser Kugel sich auch so vorstellen können. Drehtinan den Kreis durch H, I und D um seinen Durchmesser FO, so bleibt III inallen Lagen senkrecht auf FO in F. Es wird also HI eine Ebene beschreiben,welche senkrecht in F auf FO steht; die Endpunkte H und I werden einen Kreisbeschreiben, dessen Mittelpunkt F und dessen Radius FH = FI ist. Im Umfangedieses Kreises müssen aber nach den oben aufgestellten Bestimmungen die PunkteA, B und C liegen.

Die Figur zeigt einen horizontalen Durchschnitt IIIO und einen verti-calen Durchschnitt der gefundenen Kugel.

Nach der obigen Auseinandersetzung sind zwei Auflösungen dieser Aufgabemöglich. Bei der anderen Auflösung würde der Berührungspunkt der Kugel mitder Ebene oberhalb DG und der Mittelpunkt auf der entgegengesetzten Seite derEbene ABC fallen, wo jetzt 0 liegt.

Für welche Lage der Punkte A, B, C und der Ebene © ist die Auflösungunmöglich?

Aufgabe 3.

Eine Kugel zu beschreiben, welche durch drei gegebene Punkte geht und einegegebene Kugel berührt.

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