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Aufgabe 4.

Es sind zwei Ebenen ®i und ®2 gegeben, ausserdem zwei Punkte A und B,man soll eine Kugel construiren, welche die beiden Ebenen ®i und @2 berührt,und auf deren Oberfläche die Punkte A und B liegen.

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l)ie beiden Ebenen ®t und @2 schneiden sich in einer geraden Linie e; manlege durch e eine Ebene E3, welche den Neigungswinkel der Ebenen @1 und @2lialbirt. Jeder Punkt der Ebene ®3 hat nun die Eigenschaft, dass wenn man vonihm Lothe fällt auf die Ebenen ®i und ®2, diese Lothe gleich sind; dass also eineKugel beschrieben von diesem Punkte als Mittelpunkt und mit den Lothen alsHalbmesser beide Ebenen ®i und ffia berührt. Der Mittelpunkt der gesuchten Ku-gel muss also in der Ebene ®3 liegen. Man fälle nun von A ein Loth A« aufdie Ebene @3, verlängere dasselbe über a hinaus, bis dass «A 1 — ab wird, sowird die Ebene ®3 senkrecht stehen auf dem Lothe AAi und der geometrischeOrt sein für alle Kugeln, auf deren Oberfläche die Punkte A und A 1 liegen. JedeKugel, deren Mittelpunkt in der Ebene ®3 liegt, wird so beschaffen sein, dasswenn A auf ihrer Oberfläche liegt, auch A 1 auf ihrer Oberfläche liegt, d. h. diegesuchte Kugel, welche die Ebenen ®i und ®2 berühren und durch den Punkt Agehen soll, muss in jedem Falle auch durch den Punkt A 1 gehen. Daraus folgt,dass die gesuchte Kugel so beschaffen sein muss, dass auf ihrer Oberfläche derPunkt A 1 liegt. Man kann daher unsere Aufgabe auf die dritte zurückführen:Durch drei gegebene Punkte A, A 1 und B eine Kugel zu beschreiben, welche dieeine der Ebenen ®i oder ®2 berührt. Jede Kugel nämlich, deren Mittelpunkt