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in @3 liegt und eine der beiden Ebenen ®i oder ®s berührt, muss auch zu-gleich die andere berühren.
Unsere Aufgabe ist also auf 3 zurückgeführt worden und lässt zweiAuflösungen zu. In dem einen Falle liegt der Mittelpunkt der gesuchten Kugelvor der Ebene ABA 1 , in dem anderen Falle hinter der Ebene ABA 1 .
Wenn beide Punkte A und B in die Ebene ®3 fallen, alsdann muss mandie Auflösung auf andere Weise bewerkstelligen, oder vielmehr auf andere Weiseden dritten Punkt finden, der auf der Oberfläche der gesuchten Kugel liegen soll.Man muss AB ziehen, die Linie AB halbiren in m, und in m eine lothrechte Ebene®4 auf AB construiren, so wird dieselbe ebenfalls ein geometrischer Ort seinfür die Mittelpunkte aller Kugeln, auf deren Oberfläche sich die Punkte A und Bbefinden sollen. Der Mittelpunkt der gesuchten Kugel muss also in dem Durch-schnitte der Ebenen ®4 und ®3 liegen, welchen wir durch C D bezeichnen wol-len. Wo auch immer in CD dieser Mittelpunkt liegen mag, es ist ausgemacht,dass, wenn man mildern Radius mA um m einen Kreis in einer Ebene beschreibt,die in m senkrecht auf CD steht, jeder Punkt des Umfangs dieses Kreises aufder Oberfläche der gesuchten Kugel liegen muss, z. B. der beliebige PunktE. mA = mE, Ebene AmE senkrecht auf CD, wo CD der Durchschnitt ist von®3 mit einer auf AB in m senkrechten Ebene, und mA = mB. Wir haben jetztwieder die dritte Aufgabe: Durch die drei Punkte A, B, E eine Kugel zu legen,welche eine der Ebenen ®i oder @3 berührt u. s. w. Zwei Auflösungen.
Wie wird die Aufgabe gelöst, wenn die Ebenen ®i und @2 parallel laufen?Wenn einer der gegebenen Punkte in die eine der gegebenen Ebenen fällt? Fürwelche Bedingungen ist die Aufgabe unmöglich?
Vorbereitende Sätze zn Anfgabe 5.
1. Es ist eine Kugel gegeben und eine Ebene. Fällt man vom Mittelpunkteder Kugel ein Loth auf die Ebene, so haben die beiden Durchschnittspunkte die-ses Lothes mit der Kugeloberfläche Eigenschaften, welche denen des äusseren undinneren Aehnlichkeitspunktes für Kreis und gerade Linie entsprechen. (Vergl. §. 17,Seite 18.)
Zur Versinnlichung können wir die obige Figur anwenden. M sei der Mittel-punkt der gegebenen Kugel, MC sei das Loth auf die gegebene Ebene, welche