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und AC bilden eine Ebene, in welcher also auch die gerade Linie APP 1 liegt,eben so wM, welche mit den Parallelen mP 1 und MC gleiche Winkel bildet,AMm und P’rnM; daraus folgt wiederum, wenn man Rücksicht nimmt auf d : eGleichscbenkligkeit der Dreiecke AMP und lttPP 1 , die Gleichheit der Win-kel APM und P*Pm, woraus sich ergieht, dass MPm eine gerade Linie bilden,dass also der Abstand wll beider Kugeln gleich ist der Summe ihrer Radien,daher die Kugel um m die um M in P berührt.

Eben so kann man nachweisen, dass, wenn eine Kugel um W eine Ebene 6in Q l berührt und mit einer gegebenen Kugel um M einen Punkt Q gemeinsamhat, der ein potenzhaltender Punkt zum inneren Aehnlichkeitspunkte I ist,d. h. IQ . IQ 1 = IA . IC, alsdann die Kugel um 9)1 die um M von innen be-rühren muss.

4, Berührt eine Kugel um m eine gegebene Kugel um M in P und hat dieKugel um m ausserdem mit der Ebene ($ einen Punkt gemein, z. B. P 1 , derpotenzhaltend zu P ist, so muss sie die gegebene Ebene ebenfalls berühren,d. h. sie muss mit ihr ausser P 1 keinen anderen Punkt gemein haben.

Nach der Voraussetzung sollen P, P 1 und A in einer geraden Linie liegen(weil nämlich die Kugeln um M und m sich von aussen in P berühren, so müs-sen P und P 1 potenzhalteude Punkte vom äusseren Aehnlichkeitspunkte sein),d. h. AP . AP 1 = AI . AC. Man verbinde nt mit P und P 1 , desgleichen M mitP. Aus der Berührung der Kugeln uni M und in folgt, dass MPm eine geradeLinie ist, eben so ist es APP 1 nach der Voraussetzung. Es folgt daraus mit Be-nutzung der Gleichscbenkligkeit der Dreiecke MAP und ntPP 1 , dass Win-kel AMm = MmP 1 ist, also AC ^ mP 1 . Da nämlich MPm und APP 1 eineEbene bilden, als zwei sich schneidende Linien, so liegen die Punkte A, M, P,nt, I, C und P 1 alle in derselben Ebene (Mm, AP 1 ), welche senkrecht auf derEbene ® steht. Da die Linien AC und mP 1 parallel laufen, ferner AC ! ®.so ist auch mP 1 senkrecht auf ®, d. h. die Kugel um m berührt die Ebeneffi in PL

Berührt daher eine Kugel um 9)1 eine gegebene Kugel um 3)1 in Q voninnen, hat die Kugel um SU ferner mit der Ebene @ einen Punkt Q 1 gemein,sind ausserdem Q und Q 1 potenzhaltende Punkte vom inneren Aehnlichkeitspunkte,so muss die Kugel um 9)1 ebenfalls die Ebene ® in Q 1 berühren.