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wir durch ffi bezeichnen wollen, also M C J_ @. MC schneidet die Oberfläche derKugel in den Punkten A und I. Es sollen nun diese Punkte die Eigenschaftendes äusseren und inneren Aelmlichkeitspunktes haben.

Zieht man z. B. eine Linie von A, so schneidet dieselbe die Oberfläche derKugel noch in P und die Ebene @ in P 1 . Es soll alsdann AP.AP* = AI.ACsein. Offenbar bilden AC und AP 1 eine Ebene P'AC, welche senkrecht stehtauf der Ebene @ und die Kugel in einem grössten Kreise schneidet. Es folgtdaraus die Aehnlichkeit der Dreiecke API und AP'C, und daraus die obige Glei-chung AP . AP 1 = AI . AC.

Zieht man eben so eine Linie von I, so schneidet dieselbe die Oberfläche derKugel noch in Q und die Ebene ffi in Q 1 . Es folgt alsdann aus der Aehnlichkeitder Dreiecke IAQ und ICQ 1 die Gleichung IQ . IQ 1 := IA . IC.

Den Punkt A kann man den äusseren Aehnlichkeitspunkt nennen, inBezug darauf sind A und C oder P und P 1 potenzhaltende Punkte. DenPunkt I kann man den inneren Aehnlichkeitspunkt nennen, in Bezug dar-auf sind A und C oder Q und Q 1 potenzhaltende Punkte.

2. Berührt eine Kugel eine gegebene Kugel und eine gegebene Ebene, sosind die Berührungspunkte potenzhaltende, und zwar vom äusseren Aehn-lichkeitspunkte, wenn die Kugel von aussen berührt wird, und vom inneren,wenn die Kugel von innen berührt wird.

Zur Versinnlichung diene die alte Figur XIII. Es sei m der Mittelpunkt derKugel, welche die gegebene Kugel um M von aussen in P und die gegebeneEbene ffi in P 1 berührt. Es soll dann bewiesen werden, dass P und P 1 potenz-haltende Punkte vom äusseren Aehnlichkeitspunkte sind, d. h. dass PP 1 ver-längert durch A hindurch geht.

Man verbinde P mit A, ferner nt mit P und P 1 . Da die Kugel um nt die Ku-gel um M in P berührt, so ist MPm eine gerade Linie. Da die Kugel um ntdie Ebene in P 1 berührt, so ist ntP 1 ^®, daher ist ntP 1 ^ MC. Es bildet daherntP'CIMAP eine Ebene, welche senkrecht auf der Ebene® steht, die Kugel umM in dem grössten Kreise AMPI, und die Kugel um nt in dem grössten KreisentPP 1 schneidet. Aus der Parallelität von MC und ntP 1 folgt die Gleichheit derWinkel MmP 1 und AM nt, und daraus wieder die Gleichheit der Winkel mPP 1 undMPA, woraus sich ergiebt, dass APP 1 eine gerade Linie ist, d. h. dass P und P 1potenzhaltende Punkte von A sind, d. h. AP . AP 1 = AI . AC.

Es berühre ferner die Kugel um 9 Jl die gegebene Kugel von innen in Q,die gegebene Ebene <$ in Q 1 , so ist leicht zu beweisen, dass Q und Q 1 potenz-haltende Punkte sind vom inneren Aehnlichkeitspunkte I, d. h. dass QQ 1 durchI hindurch geht, oder dass IQ . IQ 1 = IA . IC. Es folgt dies aus der Paralle-lität der Linien MC und 9ÄQ 1 , welche senkrecht auf der Ebene ® stehen.

3. Berührt eine Kugel um m eine gegebene Ebene ffi in P 1 und hat sie miteiner gegebenen Kugel um M einen Punkt gemein, der potenzhaltend zu P 1 ist,so muss sie die gegebene Kugel ebenfalls berühren; und zwar von aussen,wenn der gemeinsame Punkt potenzhaltend ist vom ä uss er en Aehnlicbkeitspunkte,dagegen von innen, wenn der gemeinsame Punkt potenzhaltend ist vom inne-ren Aehnlichkeitspunkte.

Die Kugel um nt hat mit der Kugel um M den Punkt P gemein, welcherpotenzhaltend sein soll vom äusseren Aehnlichkeitspunkte, d. h. AP . AP 1 =AI . AC, man soll beweisen, dass sie die Kugel um M in P von aussen be-rührt. Dazu ist nur nöthig nachzuweisen, dass MPm eine gerade Linie ist. mP 1

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